No existe una geometría (3d por ejemplo), que es la Euclídea en 2 dimensiones (coordenadas x e y) y no-Euclidiana cuando la tercera dimensión (z) es tomado en cuenta? En otras palabras, un espacio donde es posible construir un cuadrado , pero no un cubo?
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heathrow
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Un ejemplo del espacio de la forma que usted desea: se inicia con cualquier no-trivial de 2 dimensiones curvas de colector, por ejemplo un plano hiperbólico, y darle las coordenadas x y z. A continuación, tomar el producto directo de este 2-d de la superficie con una línea, cuya coordenada es y.
A continuación, considere la posibilidad de cualquier geodésica en el x-z colector. Este geodésica tiene la propiedad de que el transporte paralelo mantiene tangente a la línea geodésica. Si se tiene en cuenta esto geodésico de la cruz y de la línea, este es un plano incrustado colector, así se puede definir una plaza en cualquiera de estos incrustado submanifolds.
La pregunta puede ser interpretado de diferentes formas: tanto de lo que significa tener la $xy$ rebanadas del 3-espacio Euclidiano, y lo que significa ser no-Euclidiana en el $z$ dirección.
La sugerencia de tomar una Euclidiana plan y se cruza con un no-Euclidiana de la curva sólo funciona si se mira la estructura global. Cualquier (suave) de la curva es localmente Euclídeo, es decir, puede straigten, así que localmente el 3-espacio Euclidiano. Sin embargo, si usted toma el $\mathbb{R}^2\times S_1$, es decir, plano Euclidiano veces un círculo, no será el mismo que Euclidiana $\mathbb{R}^3$.
Sin embargo, supongo que lo que tenía en mente era la geometría local, no global de la geometría. Normalmente, diciendo localmente Euclídeo, acabamos de decir que en un infinitessimal barrio de cualquier punto en el espacio Euclídeo. No estoy completamente seguro si esto necesariamente siempre permiten extender esto a un grande de la región (de positivo tamaño, aunque sea pequeño).
Otra cuestión es si el $xy$ rebanada de sí mismo es la Euclídea, es decir, tiene una métrica Euclidiana, o si la integración en el 3-espacio también debe ser no curvado.
Permítanme darles algunos ejemplos y hablar de ellos. La forma en que lo describen de la métrica, es decir, la función de distancia, en un espacio de 3 dimensiones parametrizada por $(x,y,z)$ está en el formulario $$ds^2=dx^2+dy^2+dz^2 \iff s'=\sqrt{(x')^2+(y')^2+(z')^2}$$ donde $ds$ es el infinitesimal de la distancia entre el $(x,y,z)$$(x+dx,y+dy,z+dz)$, y la longitud de un camino de $(x(t),y(t),z(t))$ se calcula mediante la integración de $s'$. Esta es la métrica Euclidiana en un espacio de 3 dimensiones.
Una alternativa métrica que puedo hacer es $$ds^2=f(z)^2\cdot(dx^2+dy^2)+dz^2$$ lo que significa que el $xy$ plano es escalado por un factor de $f(z)$. Tenga en cuenta que si queremos introducir nuevas coordenadas $u=f(z)\cdot x$, $v=f(z)\cdot y$ y restringir la atención a la superficie con una constante $z$ (es decir, todos los $dz$ términos desaparecer), nos encontramos con la métrica de la superficie de la $S_z$$ds^2=f(z)^2\cdot(dx^2+dy^2)=du^2+dv^2$, por lo que este es todavía un plano Euclidiano. Sin embargo, en la función de $f(z)$ no es constante, el 3-espacio es curvo. Lo que es más (y tal vez menos intuitiva) es que el $S_z$ aviones mentira curvado interior el espacio de 3 dimensiones. Una forma de ver esto es que el camino más corto entre dos puntos en $S_z$ tienden a abandonar la $S_z$ y tomar un atajo a través del lado de la $S_z$ en el 3-espacio para el cual se $f(z)$ es menor: de este lado, las distancias son más cortas, como el camino más corto entre dos puntos en un círculo en el plano pasará por el interior del círculo en lugar de moverse a lo largo del círculo.
Otra métrica que podemos hacer es $$ds^2=dx^2+dy^2+h(x,y,z)^2\cdot dz^2$$ para algunos positivos arbitrarios función de $h(x,y,z)$. De nuevo la constante $z$ rodajas, $S_z$, son Euclidiana planos: esta vez sin escala involucrados. En cambio, las distancias a lo largo de la $z$ dirección son a escala. Esta vez, la incorporación de la $S_z$ aviones en sí no es curva: no sólo es la métrica en $S_z$ igual a $ds^2=dx^2+dy^2$, pero no hay atajos al pasar de $S_z$.
Matemáticamente, la curvatura se describe a nivel local por la curvatura de Riemann tensor. Esto se basa en la idea de paralelo de transporte de vectores: es decir, si yo comienzo a un punto de $P$, escoja una dirección $u$ (descrito por un vector tangente) y otro vector $w$, puedo paralelo de transporte $w$ $u$ dirección: decir a un punto de $P+\epsilon u$. Paralelo transporte implica que no debe haber rotación, y la forma en que esta se realiza depende de la métrica de tal manera que es independiente de las coordenadas elegidas. Si elegimos una segunda dirección, $v$, podemos paralelo de transporte $w$ a lo largo de una curva cerrada en el $uv$ plano: primer lugar en el $u$ sentido, a continuación, en la $v$ dirección, de vuelta al punto de partida por ser el primero en la $-u$ dirección y luego en la $-v$ dirección. Lo que sucede entonces es que el $w$ puede terminar girado. La dirección en la que el $w$ vector rotado se denota $R(u,v)(w)$ donde $R(u,v)$ es una rotación que actúan sobre vectores de la tangente en cualquier punto.
E. g. imagina comenzar en el Polo Norte con un vector que apunta en una dirección en particular, el transporte paralelo a la línea del ecuador (vector apuntando al sur), a continuación, a lo largo de la línea del ecuador para un distence (aún apuntando al sur), y luego de regreso al Polo Norte. El vector se ha girado, y el ángulo en que fue girado fue la curvatura de la superficie terrestre veces el área de la región delimitada por el camino. Esto es lo que la curvatura de Riemann medidas, pero en el ámbito local.
En los dos ejemplos, la métrica restringido a la $S_z$ superficies se convirtió en Euclidiana: es decir, cuando se ignoran el espacio exterior. Sin embargo, en la primera de mis ejemplos, la curvatura $R(x,y)$ (es decir, para el transporte paralelo en el $xy$-plano) de la 3-espacio a lo largo de $S_z$ es no-cero; y no es sólo que los vectores en el $xy$-plano de obtener girado fuera de él, es decir, en la $z$ dirección, pero los vectores de tangentes en el $xy$-plano, también se consigue girar dentro del $xy$-plano. Este me cogió por sorpresa ya que no esperaba. Sin embargo, es debido a la curvatura del espacio cerrado. Así que si estas $S_z$ secciones son Euclidiana es una cuestión de lo que te meen ser Euclidiana en el contexto de una superficie incrustado en una curva en un espacio de 3 dimensiones.
En los últimos ejemplos, $R(x,y)$ es cero para todos los vectores de tangentes. La curvatura sólo se hace evidente cuando el transporte paralelo de los vectores de la $xy$el plano: es decir $R(x,z)$ $R(y,z)$ son no-cero. Así que estos $xy$-aviones Euclidiana, tanto en sí mismos y como subespacios de un espacio de 3 dimensiones.
