Demostrar por inducción: $2^n > n^3 $ para cualquier número natural $n > 9$

Question

Necesito demostrar que $$ 2^n > n^3\quad \forall n\in \mathbb N, \;n>9.$$

Ahora que en realidad es muy fácil si podemos demostrar que para números reales utilizando el cálculo. Pero necesito un comprobante que utiliza la inducción matemática.

He probado el problema por un largo tiempo, pero se quedó atascado en un paso - tengo que demostrar que:

$$ k^3 > 3k^2 + 3k + 1 $$

Sugerencias???

Answer 1

De otra manera el uso de $n>9$, tenga en cuenta que cuando $n=10$, $2^n = 1024 > 1000 = n^3$. Ahora supongamos que $2^n>n^3$$n>9$. A continuación,

$\begin{align*} 2^{n+1} &= 2\cdot2^n \\ &>2n^3 \\ &= n^3 +n^3 \\ &> n^3 + 9n^2 \\ &= n^3 + 3n^2 + 6n^2 \\ &>n^3 + 3n^2 +54n \\ &=n^3+3n^2+3n +51n\\ &>n^3+3n^2+3n+1 \\ &= (n+1)^3. \end{align*}$

Answer 2

Para su "subproof":

Trate de prueba por inducción (otro inducción!) para $k \geq 7$

$$k^3 > 3k^2 + 3k + 1$$

Y usted puede encontrar que es útil tener en cuenta que $k\leq k^2, 1\leq k^2$

$$3k^2 + 3k + 1 \leq 3(k^2) + 3(k^2) + 1(k^2) = 7k^2 \leq k^3 \quad\text{when}??$$

Answer 3

He aquí otra manera. Supongamos $k>9$. Entonces: $$ \begin{align*} k^3&=(k)k^2\\ &>9k^2\\ &=3k^2+3k^2+3k^2\\ &=3k^2+3(k)k+3(k)^2\\ &>3k^2+3(9)k+3(9)^2\\ &=3k^2+27k+243\\ &>3k^2+3k+1\\ \end{align*}$$

Answer 4

Si $P(n): 2^n>n^3$

$n=10, P(10): 2^{10}=1024$ $10^3=1000$

Deje $P(n)$ es cierto para $n=m\implies 2^m>m^3$

Ahora, $P(m+1): 2^{m+1}=2\cdot 2^m>2m^3$ que necesitamos para ser $>(m+1)^3$

$\implies 2>\left(1+\frac1m\right)^3 $

Si $m=2, \left(1+\frac1m\right)^3=\frac{27}8>2$

Si $m=3, \left(1+\frac1m\right)^3=\frac{64}{27}>2$

Si $m=4, \left(1+\frac1m\right)^3=\frac{125}{64}<2$

$\implies 2>\left(1+\frac1m\right)^3$ $m=4$

y $\left(1+\frac1m\right)^3>\left(1+\frac1{m+1}\right)^3\implies 2>\left(1+\frac1m\right)^3$ $m\ge 4$

Answer 5

Sugerencia: puede utilizar que si $k\ge10$,$k^3\ge 10k^2=3k^2+7k^2$.

(Otro enfoque sería el uso que $\frac{(k+1)^3}{k^3}=(1+\frac{1}{k})^3\le (11/10)^3<2$ for $k\ge10$.