Observación: $\big(\frac{\sin x }{x}\big) ^n \sim e^{-a_n x^2}$

Question

He observado que esto

$$\big(\frac{\sin x }{x}\big) ^n \sim e^{-a_n x^2}$$

(Se puede ajustar mejor que esto, pero no quería que se superpusieran completamente)

Quiero aprender cómo encontrar $a_n$, o si esta relación es técnicamente asintótica para empezar.

Answer 1

¡Esta es una buena observación!

La serie de Taylor para $$\operatorname{sinc} x := \frac{\sin x}{x}$$ en $x = 0$ es $$\operatorname{sinc} x \sim 1 - \frac{1}{6} x^2 + \frac{1}{120} x^4 - \cdots + (-1)^{k / 2} \frac{1}{(2k + 1)!} + \cdots , $$ y así la serie para $\operatorname{sinc}^n x$ es $$\phantom{(\ast)} \qquad \operatorname{sinc}^n x \sim 1 - \frac{1}{6} n x^2 + \left( \frac{1}{72} n^2 - \frac{1}{180} n \right) x^4 - \cdots \qquad (\ast).$$ En principio no es tan difícil derivar una expresión para el coeficiente del término $x^{2k}$, pero su característica más destacada para nuestros propósitos es que su término principal (en $n$) es $$\frac{(-1)^{k / 2} n^k}{6^k k!}.$$

Por otro lado, dado que $$\operatorname{sinc}^n 0 = \exp(-a_n \cdot 0^2) = 1 ,$$ podemos intentar alinear las dos funciones eligiendo un parámetro $a_n$ que coincida con la serie de Taylor de las dos funciones hasta un orden lo más alto posible: La serie de Taylor de $\exp(-a_n x^2)$ es $$\phantom{(\ast\ast)} \qquad \exp(-a_n x^2) \sim \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(-a_n x^2)^k}{k!} = 1 - a_n x^2 + \frac{1}{2} a_n^2 x^4 - \cdots + \frac{(-1)^{k / 2}}{k!} a_n^k x^{2k} + \cdots \qquad (\ast\ast),$$ por lo que podemos igualar las series $(\ast)$ y $(\ast\ast)$ al segundo orden (de hecho, al tercer orden) tomando $a_n$ de manera que sus términos cuadráticos coincidan, es decir, estableciendo $a_n = \frac{1}{6} n$. Pero entonces vemos que $$\exp\left(-\frac{n}{6} x^2\right) \sim 1 - \frac{1}{6} n x^2 + \frac{1}{72} n^2 x^4 - \cdots + \frac{(-1)^{k / 2} n^k}{6^k k!} x^{2k} + \cdots.$$ Pero el coeficiente de este término general es precisamente el mismo que el término principal (en $n$) del coeficiente del término $x^{2k}$ para la serie de $\operatorname{sinc}^n x$, que identificamos anteriormente.

Con esto en mano, podemos hacer precisa de diversas maneras la noción de que las dos funciones son asintóticas a medida que $n \to \infty$. Una forma de hacer esto más manejable es normalizar las amplitudes de las funciones y comparar $$\operatorname{sinc}^n \left( \frac{x}{\sqrt{n}}\right) \sim 1 - \frac{1}{6} x^2 + \left(\frac{1}{72} - \frac{1}{180 n} \right) x^4 - \cdots$$ con $$\exp\left[-\frac{n}{6} \left( \frac{x}{\sqrt{n}}\right)^2\right] = \exp\left(-\frac{1}{6} x^2\right) \sim 1 - \frac{1}{6} x^2 + \frac{1}{72} x^4 - \cdots;$$ estos difieren por una serie $$- \frac{1}{180 n} x^4 + \cdots ,$$ que en particular es $O(n^{-1})$.

Answer 2

Puedes entender esto utilizando la teoría de probabilidad.

La función $x\mapsto{\sin(x)\over x}$ es la función característica de una variable aleatoria $X$ que está uniformemente distribuida en $(-1,1)$. Esta variable aleatoria tiene una media $\mu=0$ y una varianza $\sigma^2=1/3$. Según el teorema del límite central, la suma normalizada ${1\over \sqrt{n}}\sum_{i=1}^n X_i$ tiene un límite Gaussiano, por lo que $$\left[{\sin(x/\sqrt{n})\over (x/\sqrt{n})}\right]^n\to \exp(-x^2\sigma^2/2), $$ o
$$\left[{\sin(x)\over x}\right]^n\approx \exp(-n x^2/6)$$ para valores pequeños de $x$.