Riemann zeta sumas y armónica de los números

Question

Dado el n-ésimo número armónico de orden s,

$$H_n(s) =\sum_{m=1}^n \frac{1}{m^s}$$

Puede ser empíricamente observado que, para $s > 2$, entonces,

$$\sum_{n=1}^\infty\Big[\zeta(s)-H_n(s)\Big] = \zeta(s-1)-\zeta(s)$$

¿Alguien puede probar que esto es cierto?

Answer 1

$$\sum_{n=1}^{\infty} (\zeta(s) - H_n(s)) = \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=n+1}^{\infty} \frac{1}{m^s}$$ $$= \sum_{k=2}^{\infty} \frac{k-1}{k^s} = \sum_{k=2}^{\infty} k^{1-s} - \sum_{k=2}^{\infty} k^{-s} $$$$=\zeta(s-1) - 1 - (\zeta(s) - 1) = \zeta(s-1) - \zeta(s)$$

desde cada plazo $\frac{1}{k^s}$ aparece en exactamente $k-1$ de las sumas $\sum_{m=n+1}^{\infty} \frac{1}{m^2}$ (es decir, por $n=1,..,k-1$).