Confundido acerca de la Norma Euclídea

Question

Estoy tratando de entender que la norma Euclídea $\|x\|_2 = \left(\sum|x_i|^2\right)^{1/2}$ es de hecho una norma y tener problemas con la desigualdad de triángulo.

Todas las pruebas a las que me he referido a involucrar a la de Cauchy-Schwarz desigualdad. Pero parece que esta desigualdad se demostró en un producto interior el espacio, que tiene propiedades adicionales a una normativa espacio.

Entonces, mi pregunta es si a partir de cualquiera (posiblemente infinito dimensional) espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$ y de tomar cualquier algebraicas base, ¿la desigualdad de triángulo ser demostrado por la norma Euclídea sin hacer suposiciones acerca de un producto interior o una base ortonormales ?

(No creo que dimensionalidad infinita debería ser un problema ya que cualquiera de los dos vectores tienen finito representaciones algebraica de base).

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Adenda después de las 2 respuestas y comentarios.

Se puede tomar el Cauchy-Schwarz desigualdad "fuera de contexto" como una expresión algebraica declaración sobre dos finito listas de $(x_i)$ $(y_i)$ y, a continuación, aplicar a los coeficientes complejos de cualquier algebraicas base para decir que $\sum \left|x_iy_i^*\right|\leq (\sum|x_i|^2)^{1/2} (\sum|y_i|^2)^{1/2}$ y, a continuación, completa la prueba de la desigualdad de triángulo ?

Answer 1

Sugerencia:

Tenga en cuenta que la norma Euclídea es un caso particular de una $p$-norma y por estas normas, la desigualdad de triángulo puede ser demostrado mediante la Minkowky la desigualdad.

De todos modos, la norma Euclídea es la única $p$-norma que satisface el paralelogramo de identidad ( ver: Determinación del origen de la norma), por lo que es procedente de un producto interior.

Acerca de la adenda.

En una $n$ dimensiones del espacio real que podemos demostrar la C-S desigualdad con simplemente métodos algebraicos (ver aquí). Así que, sí, en este caso podemos prueba de la desigualdad de triángulo sin usar explícitamente un producto interior en el espacio.

Answer 2

Wiki de la comunidad: Sólo para demostrar la C-S prueba. Tenemos $$||x+y||_2^2=\sum|x_i+y_i|^2 = \sum \left|x_i^2+2x_iy_i+y_i^2\right|.$$ Entonces, por la desigualdad de triángulo ($|\cdot|$) $$\sum \left|x_i^2+2x_iy_i+y_i^2\right|\leq \sum|x_i|^2+2\sum|x_i||y_i|+\sum|y_i|^2.$$ Pero, por el Cauchy-Schwarz desigualdad, $$\sum|x_i|^2+2\sum|x_i||y_i|+\sum|y_i|^2\leq \sum|x_i|^2+2\left(\sum |x_i|^2\right)^{1/2}\left(\sum|y_i|^2\right)^{1/2}+\sum|y_i|^2.$$ Pero esto es sólo igual a $$\left(\left(\sum |x_i|^2\right)^{1/2}+\left(\sum |y_i|^2\right)^{1/2}\right)^2=\left(||x||_2+||y||_2\right)^2.$$ Por lo tanto, $$||x+y||_2\leq ||x||_2+||y||_2.$$ Nota

Respecto de los comentarios sobre la desigualdad de triángulo usando $|\cdot |$. No es trivial la prueba: $$|a+b|^2=(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=|a|^2+|b|^2+2ab\leq(|a|+|b|)^2\implies|a+b|\leq |a|+|b|.$$ Hence, $$|x^2+2xy+y^2|\leq|x|^2+|2xy+y^2|\leq|x|^2+|2xy|+|y|^2=|x|^2+2|x||y|+|y|^2.$$