Probando que la imagen continua de los conjuntos compactos son compactos

Question

Cómo probar: La función continua mapea el conjunto compacto a conjunto compacto usando un análisis real?

es decir, si $f: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}$ es continua, entonces $f([a,b])$ está cerrado y delimitado.

He probado la parte limitada. Así que ahora necesito una idea de cómo probar $f([a,b])$ está cerrado, es decir. $f([a,b])=[c,d]$ . Por el Teorema del Valor Extremo, sabemos que $c$ y $d$ puede lograrse, pero ¿cómo probar que si $c < x < d$ Entonces $x \in f([a,b])$ ?

¡Gracias!

Answer 1

Dejemos que $\{V_a\}$ sea una cubierta abierta de $f(X)$ . Desde $f$ es continua, sabemos que cada uno de los conjuntos $f^{-1}(V_a)$ está abierto. Desde $X$ es compacto, hay un número finito de índices $a_1,...,a_n$ tal que $$X\subset f^{-1}(V_{a_1})\cup ...\cup f^{-1}(V_{a_n}).$$ Desde $f(f^{-1}(E))\subset E$ por cada $E\subset Y$ lo anterior implica que $$f(X)\subset V_{a_1}\cup...\cup V_{a_n}.$$ Por lo tanto, $f(X)$ es compacto.

Answer 2

Creo que usar la definición de secuencia es mucho más fácil de entender es mucho más intuitivo, y la prueba es agradable y limpia. Pero hay que tener cuidado con la afirmación de que ser cerrado y acotado implica compacidad, porque esto sólo es válido en el espacio euclidiano (véase el teorema de Heine-Borel para más información).

Dejemos que $f:M\to N$ sea una función continua y $M$ sea un espacio métrico compacto. Ahora dejemos que $(y_n)$ sea cualquier secuencia en $f(M)$ (la imagen de $f$ ). Necesitamos demostrar que existe una subsecuencia $y_{n_{k}}$ que converge a algún $y \in f(M)$ como $k\to \infty$ .

Elegimos una secuencia $(x_n)\in M$ y como $M$ es compacto por definición tenemos que existe una subsecuencia $(x_{n_{k}})$ que converge a algún $p\in M$ como $k \to \infty$ . Dado que una función continua preserva la convergencia de las secuencias, es decir, si $(x_n) \to p$ en $M$ entonces $f((x_n)) \to f(p)$ en la imagen, tenemos que $f((x_{n_{k}})) \to f(p)$ . Desde $f(p) \in f(M)$ tenemos que nuestra imagen es compacta y obtenemos el resultado deseado.

Espero que esto ayude, y no dudes en hacer más preguntas :).

Answer 3

Lindsay, lo que necesitas es el teorema del valor intermedio, su demostración se da en la wikipedia.