Desigualdad

Question

No puedo demostrar la siguiente desigualdad.

Deje $a,b,c$ ser números positivos.Probar que: $\dfrac{a^3}{b+c}+\dfrac{b^3}{c+a}+\dfrac{c^3}{a+b}\geq(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2. $

He intentado utilizar la desigualdad de Cauchy. Creo que las funciones de $f(a,b,c)=\dfrac{a^3}{b+c}+\dfrac{b^3}{c+a}+\dfrac{c^3}{a+b}$ $g(a,b,c)=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$ son simétricas con respecto a $a,b,c.$

Answer 1

Usando la desigualdad de Cauchy:$$\frac{a^3}{b+c}+a(b+c)\geq2a^2(1)$$ $$\frac{b^3}{a+c}+b(a+c)\geq2b^2(2)$$ $$\frac{c^3}{a+b}+c(a+b)\geq2c^2(3)$$ $$(1)+(2)+(3):\frac{a^3}{b+c}+a(b+c)+\frac{b^3}{a+c}+b(a+c)+\frac{c^3}{a+b}+c(a+b)\geq2(a^2+b^2+c^2)$$ $$\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}+2(ab+bc+ac)\geq2(a^2+b^2+c^2)$$ $$\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\geq2(a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ac))$$ $$\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\geq (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(a^2-2ac+c^2)$$ $$\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\geq(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$$

Answer 2

$$\begin{align}&\dfrac{a^3}{b+c}+\dfrac{b^3}{c+a}+\dfrac{c^3}{a+b} - (a-b)^2-(b-c)^2-(c-a)^2 \\ =& \sum\limits_{cyc} \left(\frac{a^3}{b+c} - 2a^2 +a(b+c)\right) \\ =& \sum\limits_{cyc} \frac{a(a-b-c)^2}{b+c} \ge 0 \end{align}$$