La tía y el Tío de combustible del tanque de aceite varilla problema

Question

Este problema lo primero que vino a mí en la escuela secundaria, y un par de veces desde entonces, y hasta me ha asignado para crédito extra en una de mis clases de cálculo después de que me convertí en un maestro. Así que sé la solución. Lo que estoy buscando otras FORMAS para obtener la solución. Me han dicho que existe una solución utilizando sólo la aritmética, pero nunca imaginé. Otras soluciones mediante el uso ordinario de cálculo, trigonometría, álgebra de las secciones cónicas, y así sucesivamente, son también posibles.

El problema es que usualmente se expresa en la forma de una carta de una Tía y su Tío:

Querida sobrina/sobrino, ¿Cómo están las cosas va para ti y tus padres? Escuchamos lo está haciendo bastante bien en la escuela. Keep it up! Dado este éxito, lo estaban esperando que nos pudiera ayudar figura un pequeño dilema. Como ustedes saben, nuestra casa es calentada por el aceite de combustible, y nos tiene un gran tanque enterrado en el lado patio. El tanque es un cilindro, de 20 pies de largo y 10 metros de diámetro, acostado en de su lado cinco pies de profundidad, con un estrecho tubo de llegar a una tapa de llenado a ras de suelo nivel. Su tío tiene un 15 pies longitud de tubería vieja que nos gustaría utilizar como un dip stick con el fin de saber cuando estamos muy cerca de llegar a la necesidad de un relleno de seguridad. Sabemos que 0 pies está vacía, 5 pies está medio lleno, y 10 pies está completamente llena. El problema es que no sabemos cómo marcar cualquier otro punto. Estamos bastante seguros de ellos no estarán espaciadas de manera uniforme. Lo que realmente queremos es saber, dentro de el más cercano a 0.01 pie, donde a la marca la varilla para cada múltiplo de 10% de 0% a 100%. ¿Puede usted imaginar esto para nosotros? Por supuesto, vamos a quieres ver los detalles de su solución y comprobar nosotros mismos, y sería ayudar especialmente si usted podría llevarnos a un modelo a escala de la varilla. Amor, La tía Flo y el Tío Jim

La última frase muestra el maestro influencia en el problema. Así que mi reto para esta comunidad no encontrar ninguna solución anterior, pero para encontrar la solución con el menor nivel de grado, por así decirlo.

Gracias.

ACTUALIZACIÓN: Para aquellos que se están centrando en la .01 pies exactitud, me disculpo. La intención era simplemente la de estado, es aceptable para estimar. Si la respuesta exacta es sqrt(2)*pi/2 o alguna otra tontería, vaya por delante y acaba de escribir 2.22 pies, por ejemplo.

Answer 1

Figura superior: cilindro del tanque de aceite de la sección transversal perpendicular a su eje horizontal. La coordenada vertical es el nivel de aceite en porcentaje.

Inferior de la figura: gráfico de volumen de aceite/max. volumen (en %) en comparación con el nivel de aceite $l$ (en pies). La recta horizontal de las líneas representan el área/volumen $A(l)/A(10)=V(l)/V(10)$ (en %) para cada múltiplo de 10% de 0% a 100%.

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Desde el tanque de radio es $5$, el nivel de aceite con respecto a la parte inferior de el tanque está dado por $l=5-5\cos \frac{\theta }{2}$ donde $\theta $ es la ángulo central como se muestra en la figura. El área de la sección transversal del tanque lleno de aceite es

$$A(\theta )=\frac{25}{2}\theta -\frac{25}{2}\sin \theta $$

o

$$A(l)=25\arccos (\frac{5-l}{5})-\frac{25}{2}\sin (2\arccos (\frac{5-l}{5}))$$

La relación de área $A(l)/A(10)=V(l)/V(10)$ donde $V(l)$ es el volumen de petróleo.

Deje $f(l)$ denotar esta relación de área en porcentaje:

$$f(l)=\frac{100}{\pi }\arccos \left( 1-\frac{1}{5}l\right) -\frac{50}{\pi }\sin \left( 2\arccos \left( 1-\frac{1}{5}l\right) \right) $$

Aquí está la secuencia de $f(l)$ valores de $l=0,1,2,\ldots ,10$. La gráfica de $f(l)$ se muestra más arriba.

$f(0)=0$, $f(1)=5.2044$, $f(2)=14.238$, $f(3)=25.232$, $f(4)=37.353$, $f(5)=50$,

$f(6)=62.647$, $f(7)=74.768$, $f(8)=85.762$, $f(9)=94.796$, $f(10)=100$

Edit: aún es necesario resolver la ecuación no lineal $f(l)-10k=0$ para $k=1,2,3,4,6,7,8,9$, e. g. por el Método de la Secante.

Edit 2: El problema de resolver gráficamente, como se muestra en el segundo figura, es que sería muy difícil, o imposible, conseguir la necesaria precisión de 0,01 (pies).

Actualización: Las marcas de nivel de aceite (en pies) debe ser colocado en

$0,1.57,2.54,3.40,4.21,$

$5,5.79,6.60,7.46,8.44,10$

correspondiente al volumen de aceite porcentaje de

$0,10,20,30,40,$

$50,60,70,80,90,100$.

Este cálculo se basa en los siguientes $f$ valores de la función:

$f(0)=0.0$, $f(1.5648)=10.0$, $f(2.5407)=20.0$, $f(3.40155)=30.0$, $f(4.21135)=40.0$

$f(5)=50.0$, $f(5.7887)=60.0$, $f(6.59845)=70.000$, $f(7.4593)=80.000$,

$f(8.4352)=90.000$, $f(10)=100.0$

Actualización 2 de la Figura de las marcas:

[Reorganizan para mostrar la secuencia de ediciones y actualizaciones.]

Answer 2

Es suficiente para considerar la circular de la sección transversal del tanque y volúmenes por debajo del 50% (de las marcas para las personas mayores de 50% son el reflejo de la imagen de aquellos que están por debajo del 50% en la marca del 50%). Considerar el radio del tanque a 1 unidad. Para una cierta cantidad de aceite en el tanque, considere la posibilidad de la central ángulo formado por los puntos de la sección transversal circular en la parte superior del aceite y el centro del círculo-llamar a esta $\alpha$, medido en radianes.

El área de la sección transversal del aceite es el área del sector determinado por $\alpha$ ($\frac{\alpha}{2\pi}\pi r^2=\frac{\alpha}{2}$) menos el área del triángulo que forma parte del sector, pero no forma parte de la sección transversal de aceite ($\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{\sin\alpha}{2}$), $\frac{1}{2}(\alpha-\sin\alpha)$. La porción de la sección transversal circular (y, por tanto, la parte del volumen) correspondiente a este ángulo es $\frac{\alpha-\sin\alpha}{2\pi}$. La configuración de esta expresión igual a 0.1, 0.2, 0.3 y 0.4 y resolviendo $\alpha$ se dan los valores de $\alpha$ correspondiente a 10%, 20%, 30% y 40% de los problemas que aquí se realiza numéricamente/gráficamente, ya que no hay método algebraico para resolver estas ecuaciones. Para cada valor de $\alpha$, la distancia desde el centro del círculo hasta el nivel de aceite es $\cos\frac{\alpha}{2}$, por lo que la profundidad del aceite es $1-\cos\frac{\alpha}{2}$. (Tenga en cuenta que estas son para un radio de 1 unidad y necesita ser cambiado para el problema original específicas de los números.)

Answer 3

Voy a dar el cálculo basado en la solución de mí mismo por el bien del argumento, teniendo en cuenta que todavía estoy con la esperanza de obtener una amplia variedad de otras soluciones, si es posible.

Para ello, me voy a rotar mentalmente el tanque (o el aceite) $90^\circ$ de las agujas del reloj, se redujo a la mitad, y en el centro en $(0,0)$, por lo que la mitad superior del tanque está representado por $y=\sqrt{25-x^2}$ y el volumen de petróleo por $\int_{-5}^h \sqrt{25-x^2}\mathrm{d}x$.

Sé que a partir de simple $A=\pi r^2$ que el total de área de la sección transversal del tanque es $25\pi$, por lo que para la mitad superior de -5 a +5 es $12.5\pi$. Pondré el resultado de la integral a los diversos 10% de las proporciones de este valor, sabiendo que el 10% de la parte superior de la mitad se producen en la misma posición que el 10% de todo el círculo, etc.

La integral es $\frac12\left(x\sqrt{25-x^2} + 25\arcsin\left(\frac{x}{5}\right)\right)$ evaluados de -5 a h, por lo que la ecuación que debemos resolver es: $\frac12\left(h\sqrt{25-h^2}+25\arcsin(\frac{h}{5})\right)+\frac{25\pi}{4}=12.5\pi P$

Sustituyendo los valores de .1, .2, .3, .4 y .5 sucesivamente por $P$ y el uso de diversas herramientas para estimar el $h$, mis resultados son -3.43424, -2.45931, -1.59846, -0,788681, 0. La adición de 5 a cuenta de la central de desplazamiento, el redondeo, a continuación, que reflejan estos valores, para la derecha (superior) los valores, confirma los valores dados anteriormente por Americo.

Answer 4

Busca @Isaac respuesta, la aparición de "$\alpha - \sin\alpha$" y "$1-\cos\frac{\alpha}{2}$" que me hizo pensar que el poder de la serie sería muy útil, con sus respectivos términos iniciales de fuga. Que resultó no ser tan útil como yo esperaba.

Escribir $w$ para la proporción de aceite en el tanque de capacidad, y $d$ para la proporción de aceite de profundidad a la radio del tanque. Entonces, por Isaac del trabajo ...

$$2\pi w = \alpha - \sin\alpha = \alpha-\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^m}{(2m+1)!}\alpha^{2m+1}= \sum_{m=1}^\infty\frac{(-1)^{m+1}}{(2m+1)!}\alpha^{2m+1}$$ $$d = 1 - \cos\frac{\alpha}{2}=1-\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^m}{(2m)!}\left(\frac{\alpha}{2}\right)^{2m}=\sum_{m=1}^\infty\frac{(-1)^{m+1}}{(2m)!}\left(\frac{\alpha}{2}\right)^{2m}$$

Write $w_n$ and $d_n$ for the values associated with lopping off the power series at the $n$-th term (that is, from $m=1$ to $m=n$). In particular, we have

$$2\pi w_1 = \frac{\alpha^3}{3!}$$ $$d_1 = \frac{\alpha^2}{2^2 2!}$$

Eliminating $\alfa$ yields the relation

$$32 d_1^3 = 9 w_1^2 \pi^2$$

This relation, though, isn't very accurate (as shown by the $n=1$ curve in the diagram).

If we take $n=2$ ...

$$2\pi w_2 = \frac{\alpha^3}{3!}-\frac{\alpha^5}{5!}$$ $$d_2 = \frac{\alpha^2}{2^2 2!}-\frac{a^4}{2^4 4!}$$

... then eliminating $\alfa$ isn't quite so easy unless you do something like invoke Mathematica's Resultant function, which yields

$$4718592 d_2^5 - 13762560 d_2^4 + 10035200 d_2^3 - 768000 d_2^2 w_2^2 \pi^2 + 3024000 d_2 w_2^2 \pi^2 - 2822400 w_2^2 \pi^2 + 1875 w_2^4 \pi^4 = 0$$

Also not terribly accurate at we get close to $w=0.5$ (which should have $d=1.0$). With $n=3$ we're very close, and with $n=4$ and above, we've pretty much converged on our target (at least according to the graph). I won't give the $n=4$ equation (the coefficient on $d^9$ is $2^{71} 5^4 7^2$), but here are some data points:

$$(0.0, 0.000000)$$ $$(0.1, 0.312953)$$ $$(0.2, 0.508164)$$ $$(0.3, 0.680452)$$ $$(0.4, 0.842809)$$ $$(0.5, 1.001730)$$

Por supuesto, el poder de la serie y como resultado no son exactamente "lo más bajo posible el nivel de grado", pero esto es lo mejor que puedo hacer en este punto.

Answer 5

La aproximación directa, expresando la (relativa) de volumen como una función de la (relativa) de la altura no es tan práctico como el que se requiere para invertir la relación $v=v(h)$, lo cual sólo puede hacerse numéricamente para todos los volúmenes deseados.

Se puede ser más atractivo para expresar la altura como una función del volumen por una ecuación diferencial,

$$\frac{dh}{dv}=\frac1{\sqrt{h(1-h)}},$$ que uno puede solucionar con un paso fijo método de Runge-Kutta.

Para evitar la singularidad, podemos partir de $(h,v)=(50\%,50\%)$, en pasos de $10\%$ o menor.