Demostrar una expresión de la matriz conduce a una matriz invertible?

Question

Yo quiero probar matriz $C$ es invertible: $$C=I-A^TB(B^TB)^{-1}B^TA(A^TA)^{-1},$$ donde $I$ es una matriz identidad de dimensiones adecuadas, y $(A^TA)^{-1}$ $(B^TB)^{-1}$ implica tanto $A$ $B$ tiene columnas linealmente independientes.

Traté de alcanzar mi meta, demostrando a $\det(C)\neq0$, pero se quedó atascado.

Answer 1

Dado $A \in \mathbb R^{m \times n}$$B \in \mathbb R^{m \times p}$, que tiene tanto la columna completa en la clasificación, definimos $C \in \mathbb R^{n \times n}$ como sigue

$$C := I_n - A^T B (B^T B)^{-1} B^T A (A^T A)^{-1}$$

El uso de Sylvester determinante de la identidad,

$$\begin{array}{rl} \det (C) &= \det (I_n - A^T B (B^T B)^{-1} B^T A (A^T A)^{-1})\\\\ &= \det (I_m - A (A^T A)^{-1} A^T B (B^T B)^{-1} B^T)\end{array}$$

Tenga en cuenta que

$$P_A := A (A^T A)^{-1} A^T \qquad \qquad \qquad P_B := B (B^T B)^{-1} B^T$$

son las $m \times m$ matrices de proyección que el proyecto en los espacios de columna de $A$$B$, respectivamente.

Por lo tanto,

$$\det (C) = \det (I_m - P_A P_B)$$

y, por lo tanto, si $I_m - P_A P_B$ es invertible, por lo que es $C$.