El nombre de un cierto tipo de grupos

Question

¿Cuál es el nombre (si los hubiere) que se da a los grupos de satisfacciones:

$$\forall x,y,z\in G [xyx^{-1}=(zxz^{-1})y(zxz^{-1})^{-1}]$$

Entiendo que esta cuestión podría no ser adecuado aquí, pero yo realmente no se puede buscar fácilmente para la respuesta a la pregunta anterior.

Answer 1

Esto puede ser reescrita como:

$$(zx^{-1}z^{-1}x)y = y(zx^{-1}z^{-1}x)$$

Tenga en cuenta que $zx^{-1}z^{-1}x$ puede ser cualquier elemento del grupo electrógeno para el colector de un subgrupo, y significa que los generadores del colector deben de viajar todos los elementos de a $G$. Que significa que todos los elementos del colector subgrupo conmutan con todos los elementos de a $G$.

Por lo que el subgrupo conmutador es un subgrupo en el centro del grupo, o $[G,G]\subseteq Z(G)$.

Por Derek Holt comentario, esto es llamado un nilpotent grupo de clase $2$ o $2$-paso nilpotent para el corto. (No está claro si $2$-nilpotent incluye $1$-nilpotent, que son conmutativas, pero la conmutativa grupos obviamente también son incluidos.)

Básicamente, se puede mostrar fácilmente que $1\unlhd [G,G]\unlhd G$ es un central de la serie , si y sólo si la condición es verdadera.

Y una última conexión hace más explícito.