La prueba de que un conjunto tiene la Lindelöf propiedad en un espacio métrico

Question

Estoy teniendo algunos problemas con la prueba del siguiente Teorema:

"Vamos a $E$ ser un conjunto en un espacio métrico $\mathscr{X}$. A continuación, $E$ tiene el Lindelöf establecimiento, siempre y cuando exista una contables set $D$ que es denso en $E$ ".

Un conjunto $E\in\mathscr{X}$ tiene el Lindelöf propiedad si cada apertura de la tapa tiene una contables subcolección que cubre $E$. La prueba la estoy usando se puede encontrar en la página 80 del libro "Topológico de Ideas" por K. G. Binmore. Tengo un verdadero problema sólo con una parte de la prueba, pero me muestran el conjunto de la prueba como se indica en el texto de integridad (he hecho algunos métodos de representación de los cambios). Para una prueba de $\mathscr{X}=\mathbb{R}^{n}$ ver Cómo probar que si $D$ es contable, entonces $f(D)$ es finito o contable?.

Deje $\mathscr{U}$ ser cualquier colección de abrir establece que cubre $E$. Tenemos que mostrar que una contables subcolección de $\mathscr{U}$ cubre $E$. Deje $\mathscr{B}$ ser la clase de abrir bolas $B_{q}(d)$ con centros de $d\in D$, y racional de los radios $q$ tal que $B_{q}(d)\subset U$ durante al menos un $U\in\mathscr{U}$ (voy a utilizar $B\in\mathscr{B}$ para un elemento general). A continuación, $\mathscr{B}$ es contable (he omitido algunas de las cosas que muestra esta). La siguiente declaración es entonces probado (esta es la parte que estoy teniendo un problema con el):

$E\subset\bigcup_{U\in\mathscr{U}}U\subset\bigcup_{B\in\mathscr{B}}B\hspace{200pt}(1)$.

El de arriba es demostrado de la siguiente manera: Vamos a $u\in U$ cualquier $U\in\mathscr{U}$. Desde $U$ está abierto, está contenida en un abrir balón $B_{\epsilon}(u)$ tal que $B_{\epsilon}(u)\subset U$. Desde $E$ es denso en $D$ tenemos $d(e,D)=0$ por cada $e\in E$, y así siempre podemos encontrar un punto de $d\in D$ tal que $d(u,d)<\frac{1}{3}\epsilon$ (mi problema es: yo creo que esto solo es cierto si $u\in E$ correcto?). También se puede elegir un número racional $q$ tal que $\frac{1}{3}\epsilon<q<\frac{2}{3}\epsilon$ (un Teorema se hace referencia a este resultado). Entonces, debido a $d(u,d)<\frac{1}{3}\epsilon<q$,$u\in B_{q}(d)\in\mathscr{B}$. Ahora vamos a $y\in B_{q}(d)$. Tenemos $d(u,y)\leq d(u,d)+d(d,y)<\frac{1}{3}\epsilon+q<\epsilon$. Por lo tanto $y\in B_{\epsilon}(u)$, y por lo $u\in B_{q}(d)\subset B_{\epsilon}(u)\subset U$. Por lo tanto todos los $U\in\mathscr{U}$ se debe a la unión de todos los $B_{q}(d)\subset B_{\epsilon}(u)$ que contienen cada una de las $u\in U$. Estas bolas son un subconjunto de a $\mathscr{B}$, lo que demuestra (1)

Así que mi pregunta es, para el punto de $u\in U$ en el párrafo anterior, ¿cómo podemos siempre encontrar un punto de $d\in D$ tal que $d(u,d)<\frac{1}{3}\epsilon$ si $u\not\in E$? A partir de las hipótesis del Teorema, no veo por qué todos los $u\in U$ tiene que ser en $E$. Ahora me finalizar la prueba, ya que se da en el libro.

La prueba continuó: Vamos a $f:\mathscr{B}\rightarrow\mathscr{U}$ ser elegido de manera que $B\subset f(B)$ por cada $B\in\mathscr{B}$, $f(\mathscr{B})$ es una contables subcolección de $\mathscr{U}$ (ver Cómo probar que si $D$ es contable, entonces $f(D)$ es finito o contable? para una prueba de ello). Así

$E\subset\bigcup_{B\in\mathscr{B}}B\subset\bigcup_{B\in\mathscr{B}}f(B)\subset\bigcup_{U\in f(\mathscr{B})}U\subset\mathscr{U}$.

Esto demuestra que $f(\mathscr{B})$ es una contables subcolección de $\mathscr{U}$.

Tengo una pregunta con respecto al párrafo anterior: Podemos elegir siempre la función de $f$, de modo que $B\subset f(B)$ por cada $B\in\mathscr{B}$? Supongo que $f(b)=b$ todos los $b\in B$ ¿el truco? Cualquier ayuda sobre estas preguntas sería muy apreciada.

Answer 1

Usted ha encontrado un agujero en la prueba, aunque es fácilmente arreglado. Una forma de arreglarlo es el propuesto por Quinn Culver en los comentarios: deseche $\mathscr{X}\setminus E$ y tome $E$ a ser el espacio métrico en el que estamos trabajando (el espacio ambiental), en sustitución de cada conjunto abierto en $\mathscr{X}$ con su intersección con la a $E$.

Una solución que se mantiene más cerca de la del autor aparente intención va como sigue:

Deje $u\in E$. A continuación, $u\in U$ algunos $U\in\mathscr{U}$. Desde $U$ está abierto, hay algunos $\epsilon>0$ tal que $u\in B_\epsilon(u)\subseteq U$. Desde $E$ es denso en $D$,$d\in D\cap B_{\epsilon/3}(u)$. También se puede elegir un número racional $q$ tal que $\frac{\epsilon}3<q<\frac{2\epsilon}3$. Entonces, debido a $d(u,d)<\frac{\epsilon}3<q$,$u\in B_{q}(d)\in\mathscr{B}$. Ahora vamos a $y\in B_{q}(d)$. Tenemos $d(u,y)\leq d(u,d)+d(d,y)<\frac{1}{3}\epsilon+q<\epsilon$. Por lo tanto $y\in B_{\epsilon}(u)$, y por lo $u\in B_{q}(d)\subset B_{\epsilon}(u)\subset U$. Por lo tanto, para cada $U\in\mathscr{U}$, $$E\cap U=\bigcup\{B\in\mathscr{B}:B\subseteq U\}\subseteq U\;.$$ If $\mathscr{B}_0=\{B\in\mathscr{B}:B\subseteq U\text{ para algunos }U\in\mathscr{U}\}$, this shows that $E\subseteq\bigcup\mathscr{B}_0$. Now for each $B\in\mathscr{B}_0$ choose $U_B\in\mathscr{U}$ such that $B\subseteq U_B$; by the definition of $\mathscr{B}_0$ such a $U_B$ must exist. $\mathscr{B}_0$ is a subset of the countable collection $\mathscr{B}$, so $\mathscr{B}_0$ is countable, and therefore $\mathscr{U}_0=\{U_B:B\in\mathscr{B}_0\}$ is countable. But $E\subseteq\bigcup\mathscr{B}_0\subseteq\bigcup\mathscr{U}_0$, so $\mathscr{U}_0$ is a countable subset of $\mathscr{U}$ that covers $E$.

Observe que en esta versión que no estoy diciendo que usted puede encontrar puntos de $D$ arbitrariamente cerca de cada punto de $U$, pero sólo a aquellos que están en $E$. Tenías razón para preocuparse, porque en realidad usted no puede garantizar que un punto arbitrario de $U$ es en el cierre de $D$. Como ejemplo, tome $\mathscr{X}$ $\Bbb R^2$ con la topología usual, y deje $E=\{\langle x,0\rangle:0<x<1\}$, la apertura de la unidad de intervalo en el $x$-eje. Los puntos de $E$ con rational primera coordenada son una contables subconjunto denso. Sin embargo, si $U$ es cualquier conjunto abierto en $\Bbb R^2$, $U\setminus E\ne\varnothing$, y para cada una de las $p\in U\setminus E$ hay un $\epsilon>0$ tal que $B_\epsilon(p)\cap D=\varnothing$.

A partir de su pregunta final, sospecho que puede haber entendido la naturaleza de la función $f$, lo cual es una razón por la que yo he utilizado una notación diferente de arriba. El dominio de $f$ mi $\mathscr{B}_0$, no un conjunto de puntos de $\mathscr{X}$: los elementos del dominio son los conjuntos de $B_q(d)$, no los puntos en los conjuntos. Para cada una de las $B\in\mathscr{B}$ que es un subconjunto de algún miembro de $U$, $f$ escoge un miembro de $U$ contiene $B$. Traté de hacer que un poco más claro por el uso de $U$ como el nombre de la función en lugar de $f$ y escribir el argumento como un subíndice: su $f(B)$ mi $U_B$, que creo que es más obviamente un solo miembro de $\mathscr{U}$.