Cómo demostrar que una variable aleatoria toma valores en $[0,1]$ tiene una varianza no superior a $\frac{1}{4}$ ?

Question

¿Cómo puedo demostrar que una variable aleatoria que toma valores en $[0,1]$ tiene una varianza no superior a $\frac{1}{4}$ ? Si importa, tanto las pruebas discretas como las continuas son bienvenidas.

Answer 1

Sea $X$ una variable aleatoria con $0\leq X\leq 1$ . Tenemos $$\operatorname{Var}(X)=E[X^2]-E[X]^2\le E[X]-E[X]^2=E[X](1-E[X]).$$ Ahora, observamos que para $0\leq t\leq 1$ tenemos $$t(1-t)=-(t^2-t)=-\left(\left(t-\frac 12\right)^2-\frac 14\right)=\frac 14-\left(t-\frac 12\right)^2\leq \frac 14,$$ con igualdad si $t=\frac 12$ .

Con una ley de Bernoulli ( $P(X=1)=1/2$ y $P(X=0)=1/2$ ) se obtiene una igualdad.

Answer 2

Un simple cálculo muestra que la media $\mu_X$ es la constante con la menor distancia cuadrática media desde $X$ . Combinado con la condición $0 \leq X\leq 1$ esto da $$\mbox{Var}(X)=\mathbb{E}[(X-\mu_X)^2]\leq \mathbb{E}\left[\left(X-{1\over 2}\right)^2\right]\leq {1\over 4}.$$