Mi problema es:
Dejemos que $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sea una función medible (con respecto a la medida de Lebesgue) que está en $L^2$ . Demuestre que la función
$$F(x)=\int_0^x f(t)\,dt$$
satisface $|F(x)-F(y)| \leq C|x-y|^{\frac{1}{2}}$
Realmente no sé por dónde empezar. Siento que es un poco porque $f(t)$ no se permite que crezca más rápido que $(x-t)^{-\frac{1}{2}}$ cerca de $x$ pero no sé cómo hacer nada con esto.
Tal vez un comentario que vale la pena mencionar es que no se puede utilizar el habitual $L^{2}(\mathbb{R})$ desigualdad de Cauchy-Schwarz, ya que la función constante $1$ no está en $L^{2}(\mathbb{R})$ . Pero, en cambio, para cada $x,y\in \mathbb{R}$ puede considerar $f$ y la función constante $1$ restringido a $[x,y]$ y la de Cauchy-Schwarz relacionada con $L^{2}([x,y])$ . Pero de todos modos, realmente no cambia nada, sólo es un detalle técnico.
Estoy de acuerdo, debería precisar que trabajo para fijo $x$ y $y$ y demostrar que la constante $C$ no depende de ellos.
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