El concepto de ideal entró en el mundo de las matemáticas en algún lugar en el siglo 19, creo que en el contexto del anillo de cyclotomic enteros $\Bbb Z[\zeta_n]$ donde $\zeta_n=e^{2\pi i/n}$, en el intento de ataque del último teorema de Fermat.
Un ideal es una generalización de un número-o, más generalmente, al hablar de un elemento de un anillo, porque si $x\in{\cal O}_K$ el subconjunto $(x)=x{\cal O}_K$ es de hecho un ideal. El concepto se convirtió pronto útil en otros contextos, por ejemplo, en la geometría, donde el conjunto de funciones polinómicas de fuga en un conjunto algebraico afín en el espacio es en realidad un ideal, y así sucesivamente.
La motivación detrás de la introducción de los ideales, al menos en una media aritmética contexto, es que un anillo de enteros algebraicos ${\cal O}_K$ es una Única Factorización de Dominio (y, en particular, las nociones de irreductible y elementos principales coinciden) si y sólo si cada ideal $I$ es en realidad la principal, es decir, $I$ es uno de los ideales generados por, o "que viene de" un solo número como antes: $I=(x)$.
De hecho, un requisito menos estricto en los ideales de la $\Bbb Z[\zeta_p]$ $p$ prime fue ideado por Kummer para mostrar la unsolvability, cuando se cumplió con el requisito, de la ecuación de Fermat con exponente $p$.
Estos son evidentes indicios de que el conjunto de ideales es digno de estudio.
Así, una primera pregunta natural es: "¿cuánto nos ampliar el conjunto de elementos cuando podemos generalizar a partir de los elementos ideales"? Básicamente, la idea es que el que más el conjunto de ideales es relativamente más grande, el más "complicado" de la aritmética de ${\cal O}_K$ es. Ya que ambos conjuntos son infinitos, la respuesta a esta pregunta no puede ser demasiado directa.
La observación clave es que la multiplicación ordinaria en $K$ induce una multiplicación entre los ideales que, de hecho, "extiende" la obvia multiplicación $(x)\cdot(y)=(xy)$ entre los principales ideales. Es notable que en virtud de esta ampliación de la multiplicación de la unicidad de la factorización es recuperado: ideales puede ser el único descomponerse como aproduct de primer ideales, y una de las principales principales ideas son exactamente las generadas por los elementos principales. Por otra parte, si tenemos más de generalizar nuestra imagen de la introducción de fracciones de ideales, estas multiplicaciones en realidad definir una estructura de grupo abelian en el set $J_K$ de las fracciones ideales para que el subconjunto $P_K$ de las principales fracciones de los ideales es un subgrupo.
Pero ahora que tenemos los grupos hay una manera muy natural para comparar tamaños: acaba de tomar el cociente $C_K=J_K/{\cal O}_K$.
Por lo que el resultado esencial que $C_K$ es finito significa que a la hora de generalizar a partir de los elementos ideales que hacer lidiar con una mayor conjunto, pero no se que relativamente grandes. O, en otras palabras, que para que un genérico de campo de número de $K$ la media aritmética de ${\cal O}_K$ puede ser esencialmente más complicada que la de $\Bbb Z$, pero después de todo no es más que complicado (advertencia: esta última interpretación no puede ser leído demasiado optimista, y conducir a falsas expectativas; :-) )
