Categorías con algunos pero no todos los exponenciales

Question

Los ejemplos introductorios que se suelen dar de objetos exponenciales en categorías implican de hecho categorías que tienen todo exponenciales.

¿Hay ejemplos no demasiado esotéricos de categorías de interés independiente para las que sea significativo que tengan algunos exponenciales (y algo más que trivialidades como $A^1$ ) pero no tienen todos los exponenciales?

(Por ejemplo, ¿hay casos interesantes en los que, en efecto, no podemos iterar la exponenciación?)

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Ooops. Realmente no debería haber formulado esta pregunta tal cual, ya que el ejemplo topológico dado por Najib Idrissi ya está ahí (en forma de titular) en este Entrada de Wikipedia que recuerdo haber leído no hace mucho tiempo. Me temo que es un momento de la tercera edad. Pero dadas las útiles indicaciones sobre detalles adicionales en la respuesta de Najib Idrissi, ciertamente dejaré esta pregunta en su lugar.

Pero me pregunto si también hay buenos ejemplos no topológicos.

Answer 1

La categoría $\mathsf{Top}$ de los espacios topológicos es un ejemplo famoso. Un espacio topológico $X$ es exponenciable (lo que significa que $Y^X$ existe para todos los $Y$ ) si es núcleo-compacto por ejemplo, si se genera de forma compacta. No todos los espacios son de núcleo compacto, lo que lleva a la búsqueda de un bonita categoría de espacios una subcategoría de $\mathsf{Top}$ que satisface bonitas propiedades como la de "cerrado cartesiano" (véase esta pregunta para más información).

Por eso muchos textos sobre topología algebraica comienzan con "supondremos que todos los espacios implicados están generados de forma compacta" o algo similar. También es la razón por la que algunas personas prefieren trabajar, por ejemplo, con conjuntos simpliciales en lugar de espacios topológicos: son "tan buenos como" los espacios topológicos desde el punto de vista de la teoría de la homotopía, pero su categoría se comporta mucho mejor.

Answer 2

He aquí un ejemplo tonto: la categoría de conjuntos contables (pero posiblemente finitos) tiene productos finitos, pero el teorema de Cantor implica que sólo los conjuntos finitos son exponenciables.

Una variación no tan tonta de lo anterior es la categoría de clases (en NBG, por ejemplo). De nuevo, tiene productos finitos, y no es difícil comprobar que todo conjunto es exponenciable. Lo que no está tan claro es si todo objeto exponenciable es un conjunto, pero lo cierto es que hay alguna clase propia que es no exponenciable: véase aquí .

También hay que señalar que $\mathbf{CRing}^\mathrm{op}$ tiene algunos objetos exponenciables no triviales. Por ejemplo, $\mathbb{Z} [x] / (x^2)$ es exponenciable en $\mathbf{CRing}^\mathrm{op}$ . De hecho, $$\mathbf{CRing} (A, B \otimes \mathbb{Z} [x] / (x^2) ) \cong \mathbf{CRing} (\mathrm{Sym}_A (\Omega^1_A), B)$$ donde $\mathrm{Sym}_A (\Omega^1_A)$ denota la conmutativa $A$ -generada por las diferenciales de Kähler de $A$ en $\mathbb{Z}$ .

El hilo conductor de los tres ejemplos anteriores es que los objetos "pequeños" son exponenciables: en el primer ejemplo, los conjuntos finitos son pequeños en el contexto de los conjuntos contables; en el segundo ejemplo, los conjuntos son pequeños en el contexto de las clases; y en el tercer ejemplo, $\mathbb{Z} [x] / (x^2)$ es, en cierto sentido, una versión infinitesimalmente engordada de $\mathbb{Z}$ que es pequeño en el sentido de ser un objeto terminal en $\mathbf{CRing}^\mathrm{op}$ .

Answer 3

Para un ejemplo muy pequeño se puede tomar la conocida red de cinco elementos no distributiva de cinco elementos $ \{0,a,b,c,1\} $ con $ 0<b<a<1 $ y $ 0<c<1 $ , considerado como una categoría.

Entonces, por ejemplo $ b^c=a $ pero $ b^a $ no existe.