Serie de Taylor para $e^x$ donde $x = 1$, la estimación del Error

Question

Estoy tratando de calcular $e$ a un determinado número de dígitos. La Serie de Maclaurin de expansión de $\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$. Al $x = 1$ podemos aproximar el valor de $e$ evaluando $\displaystyle\sum_{n=0}^m\frac1{n!}$. ¿Cómo puedo encontrar el error en la aproximación cuando me calcular la suma de $m$? Si me tome la salida de la serie, cuántos dígitos (truncado) de mi aproximación a $e$ son correctos si me evaluar a $m$ términos?

---

En general, ¿cómo podemos encontrar el error al evaluar este tipo de series?

---

Otra buena serie, Hermano de la Fórmula (converge a $e$ más rápido que el que se indicó anteriormente):

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{2n+2}{(2n+1)!}$$

---

Edit: Para encontrar los dígitos que están corregir, agregar la cota superior para el error en la estimación y los dígitos antes de que el primer dígito que ha cambiado son los correctos. Por ejemplo, vamos a decir que hemos encontrado a $3.1234122$ como una estimación de algunas series. Supongamos que calculamos el error sea menor que $0.0001879$. Para encontrar los dígitos que son correctos en la estimación:

$$3.1234122 + 0.0001879 = 3.1236001$$ Así, podemos ver que las cifras que podemos estar seguros de ser correcta se $3.123$, por lo que los 4 primeros dígitos del número de la se $3.123$.

Answer 1

Hay una manera sencilla para acotar el error. Supongamos que usted hizo su aproximación hasta algunos $m$, es decir, se calculan $\displaystyle\sum_{n=0}^m\frac{1}{n!}$. Su error exacto es $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}-\sum_{n=0}^m\frac{1}{n!}=\sum_{n=m+1}^\infty\frac{1}{n!}$.

Pero tenga en cuenta que $$\sum_{n=m+1}^\infty\frac{1}{n!}<\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(m+1)^n}=\frac{1}{m}.$$ Lo que es aceptable(si la idea es sólo para obtener algo obligado, no es necesariamente un buen enlazado) error de enlazado.

Answer 2

He escrito otra respuesta sobre este tema para la serie de Taylor, y el uso de $e^x$ como un ejemplo.

---

Para el Hermano de la fórmula, nunca he visto antes pero podemos utilizar algunas estándar de trucos para que la represente.

Puedo definir primero $f(x) = (e^x - e^{-x})/2$ a cancelar todos los términos de la serie de Taylor para $e^x$:

$$ f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} $$

Si usted es inteligente, usted podría reconocer este (ya sea la serie o la definición de $f(x)$) como la función seno hiperbólico: $f(x) = \sinh x$.

Un truco común es diferenciar la serie para traer el exponente en $x$ como coeficiente. Pero esta serie no es del todo correcta. Definir

$$ g(x) = x f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{2n+2}}{(2n+1)!} $$

Ahora, definir

$$ h(x) = g'(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(2n+2) x^{2n+1}}{(2n+1)!} $$

Por lo tanto, podemos aplicar las ideas de la estimación del error de una serie de Taylor hacia el cálculo de $h(1)$, donde

$$ h(x) = \sinh x + x \cosh x = \frac{1}{2} \left( e^x - e^{-x} + x e^x + x e^{-x} \right) $$

O, usted podría analizar el error en la serie de Taylor para $\sinh x$ $\cosh x$ individualmente, y luego combinarlos en un análisis de $h(x)$.

Answer 3

La mejora de @Integral del obligado:

\begin{align} \sum_{n=m+1}^\infty \frac{1}{n!} &= \frac{1}{(m+1)!} \left( \frac11 + \frac1{m+2} + \frac1{(m+2)(m+3)} + \cdots \right) \\ &\le \frac{1}{(m+1)!} \left( \frac11 + \frac1{m+2} + \frac1{(m+2)^2} + \cdots\right) \\ &= \frac{1}{(m+1)!} \frac{1}{1-\frac1{m+1}} = \frac{1}{(m+1)!} \frac{m+1}{m} = \frac1{m\cdot m!} \end{align}

(comparando con una serie geométrica)