Cuándo es

Question

Dado $n$ a de enteros positivos, cuando se $m! > \binom{n}{m}$? Estoy en busca de un superior límites en el valor de $m$, como una función de la $n$, con una fórmula que esperemos que no contiene funciones especiales. Esperemos que haya una buena límites superior que cumpla con estos criterios.

Answer 1

De Wikipedia Factorial de la página->Tasa de crecimiento y aproximaciones para un gran $n$, tenemos:

$$\tag{1} e \left( \frac{m}{e} \right)^m \le m!$$

...y si hacemos un poco de matemática simple:

$$\binom{n}{m} = \frac{n!}{(n-m)!} \frac{1}{m!} \le n^m \frac{1}{m!}$$

A continuación, conectar $(1)$$m!$:

$$n^m \left( \frac{1}{m!} \right) \le n^m \left( \frac{(e/m)^m}{e} \right) = \frac{(e \cdot n)^m}{e \cdot m^m}$$

...lo cual nos da:

$$\tag{2} \binom{n}{m} \le \frac{(e \cdot n)^m}{e \cdot m^m} \le e \left( \frac{m}{e} \right)^m \le m!$$

Por eso nos gustaría encontrar el más pequeño de $m$ tal forma que:

$$\begin{align} \frac{(e \cdot n)^m}{e \cdot m^m} &\le e \left( \frac{m}{e} \right)^m\\ \frac{e^{2m}n^m}{e \cdot m^{2m}} &\le e \\ \frac{e^{2m}n^m}{m^{2m}} &\le e^2 \\ \left( \frac{e \sqrt{n}}{m} \right)^{2m} &\le e^2 \\ \frac{e \sqrt{n}}{m} \le e^{1/m} \\ e \sqrt{n} \le m \cdot e^{1/m} \end{align}$$

Este es casi el "Lambert $W$ función", o "omega" función de $\sqrt{n}$, que tiene bastante considerable entradas en la página de Wikipedia sobre ella y Wolfram página en la que, entre otros lugares.

Según Wolfram Alpha, la solución correspondiente, cuando no es la igualdad, es:

$$m = - \frac{1}{W{\left( -\frac{1}{e \sqrt{n}} \right) }}$$