Cómo escribir una prueba formalmente (o cómo llevar las cosas que sé que juntos)?

Question

Siempre he tenido problemas con esto: yo sé todo lo que necesita saber, pero no puedo conectarme todo lo que sé en la forma en que se está querían de mí. Esto es lo que tengo que hacer:

Probar para $f : M → N$ la siguiente declaración.
$f$ es surjective si y sólo si se cumple lo siguiente: Si $g, h: N → L$ son las funciones con $g ∘ f = h ∘ f$, $g = h$ se aplica.

La cosa es que estoy bastante seguro de que sé lo que quieres de mí, pero no tengo idea de cómo mostrarlo. Esto es lo que sé:

$f: x ∈ M → f(x) ∈ N$
$g: f(x) ∈ N → g(f(x)) ∈ L$
$h: f(x) ∈ N → h(f(x))∈L$
y por supuesto:
$f$ es surjective cuando: $∀y ∈ N ∃ x ∈ M : f(x) = y$

Bastante simple, pero no sé si es necesario para escribir esto. Continúo:

$f$ es surjective si:
$g ∘ f = h ∘ f $
$⇔ g(f(x)) = h(f(x))$
$⇔g(y) = h(y)$
sería suficiente demostrar acerca de ese $g = h$ parte?

Ni siquiera estoy seguro de si esto va a la dirección correcta, porque me temo que ni siquiera sé si sé lo que estoy haciendo. Estoy abierto a todo tipo de ayuda, porque esto es algo que desea aplicar a todos la prueba de este tipo.

Answer 1

Ya que este es un "si y sólo si" tipo de prueba, frenar y tratar de anotar dos consecuencias de una en una. Tratar de entender cada paso. Por ejemplo:

Vamos a demostrar que $f$ surjective implica otra cosa. Suponga que $g \circ f = h \circ f$. Esto significa que para cualquier elemento $m \in M$, $g(f(m)) = h(f(m))$. Tenemos que mostrar que para cualquier elemento $n \in N$,$g(n) = h(n)$. Pero $f$ es surjective, por lo que cualquier $n$ tiene una preimagen $m$: $$\exists m: n = f(m)$$ Thus we in fact have $g(n) = g(f(m)) = h(f(m)) = h(n)$, como lo exige!

Puedes intentar hacer la otra dirección?

Aquí está lo que tienes que hacer: asumir que $g \circ f = h \circ f \implies g = h$. Ahora, tomar cualquier elemento $n \in N$, y muestran que existe una $m \in M$ tal que $f(m) = n$.

Edit: Esta última parte es quizás el menos sencillo de los dos, así que vamos a ver si puedo ser un poco más útil. Supongamos por el contrario que $f$ es no surjective. Por lo tanto, existe $n_0 \in N$ que no posee preimagen. Ahora, tome $L = \{a,b\}$, cualquier elemento del conjunto. Set $g(n) = a$, y

$$ h(n) = \begin{cases}a & n \neq n_0 \\ b & n = n_0 \end{cases}$$

Ahora se puede encontrar una contradicción?

Answer 2

Tienes que probar:

$$(f\mbox{ surjective})\Leftrightarrow(\forall (g,h)\in L^N\mbox{ s.t. }g\circ f=h\circ f,\space g=h)$$

Lo que realmente significa:

$$\left\{\begin{array}{cc}(f\mbox{ surjective})\Rightarrow(\forall (g,h)\in L^N\mbox{ s.t. }g\circ f=h\circ f,\space g=h) && (1) \\ (\forall (g,h)\in L^N\mbox{ s.t. }g\circ f=h\circ f,\space g=h) \Rightarrow (f\mbox{ surjective}) && (2)\end{array}\right.$$

Lo que usted escribió es, de hecho ya la prueba de $(1)$ tan sólo tendrá que demostrar $(2)$ ahora.

Si usted no sabe cómo poner las piezas juntas, primero debe escribir en un pedazo de papel la primera línea de la prueba (lo que se inicia desde), omitir algunas de las líneas y, a continuación, escriba lo que usted quiere llegar. En tu caso:

$$\begin{array}{cc}\forall (g,h)\in L^N\mbox{ s.t. }g\circ f=h\circ f,\space g=h \\ \Rightarrow\cdots \\ \Rightarrow\cdots \\ \Rightarrow\cdots\\ \Rightarrow f\mbox{ surjective}\end{array}$$

Ahora lo que tienes que hacer es, obviamente, tratar de llenar en el $\cdots$.

Para ello, se intenta y escribir lo que la primera línea le dice a usted y también a tratar de escribir lo que la última línea que pueden surgir.

Ejemplo:

$$\begin{array}{cc}\forall (g,h)\in L^N\mbox{ s.t. }g\circ f=h\circ f,\space g=h \\ \Rightarrow\forall y\in N,\space g(y)=h(y) \\ \Rightarrow\cdots \\ \Rightarrow\cdots \\ \Rightarrow\forall y\in N,\space\exists x\in M\mbox{ s.t. }f(x) = y \\ \Rightarrow f\mbox{ surjective}\end{array}$$

Al hacer esto, eventualmente vas a reducir la brecha entre el inicio y el final de la prueba y será más fácil para usted !

Ahora la uso para probar $(2)$ y díganos si usted todavía tiene problemas para hacerlo ;)

Sugerencias:

• Si tienes algo como por ejemplo $\forall (g,h)\in L^N\mbox{ s.t. }g\circ f=h\circ f,\space g=h$ en su primera línea que usted podría querer escribir de esta manera:

Deje $(g,h)\in L^N$ dos funciones tales que $g\circ f=h\circ f$

$$\begin{array}{cc}\Rightarrow g=h \\ \Rightarrow\cdots \\ \Rightarrow\cdots\end{array}$$

O incluso se podría omitir la primera línea tales como:

Deje $(g,h)\in L^N$ dos funciones tales que $g\circ f=h\circ f$

$$\begin{array}{cc}\Rightarrow\cdots \\ \Rightarrow\cdots\end{array}$$

La idea es sólo para transformar $\forall\cdots$ en algo así como "Vamos a ..." o "Denotan ...". Y para sustituir a $\exists x\mbox{ s.t.} P$ por escrito explícito $x$, lo que se verifica la propiedad $P$. De esta manera es más fácil escribir las pruebas, usted tiene menos de la que preocuparse.