Si $\alpha$ es una raíz de la ecuación ( $x^3+x^2-2x-1=0$ , luego se encuentran las otras dos raíces de polinomios de $\alpha$, con coeficientes racionales.
He visto algunos otros ejemplos [1] que otras raíces se encontraron resultados para ecuaciones con ciertas propiedades (sólo había incluso potencia términos, etc).
En el comentario en este enlace, alguien sugieren que Si $A$ es una raíz de $x^6−2x^5+3x^3−2x−1=0$, entonces también lo es $−A^5+2A^4−3A$, sin más explicación (o tal vez es obvio para expertos matemáticos, no a mí), pero estoy más interesado en la teoría subyacente, preferiblemente de primaria, y de técnicas para resolver problemas de este tipo.
Gracias!
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El discriminante del polinomio $p(x)=x^3+x^2-2x-1$$49$, que es un cuadrado perfecto. No tiene raíces racionales, por lo que es irreducible en a $\Bbb{Q}[x]$. Juntos, estos hechos implican que el grupo de Galois del polinomio es cíclico de orden tres. Si $a$ es uno de sus ceros, así vemos que $\Bbb{Q}[a]$ es su división de campo. Esto significa que los otros ceros también están en $\Bbb{Q}[a]$, por lo tanto son polinomios en $a$ con coeficientes racionales.
Podríamos correr a toda Cardano, pero he visto este polinomio demasiado a menudo, así que voy a tomar un atajo. Vamos a escribir $\zeta=e^{2\pi i/7}$ y $$u=\zeta+\zeta^{-1}=2\cos\frac{2\pi}7.$$ Obtenemos de fórmula binominal que $$ u^3=\zeta^3+3\zeta+3\zeta^{-1}+\zeta^{-3} $$ y $$ u^2=\zeta^2+2+\zeta^{-2}. $$ Por lo tanto $$ p(u)=u^3+u^2-2u-1=\zeta^3+\zeta^2+\zeta+1+\zeta^{-1}+\zeta^{-2}+\zeta^{-3}=\zeta^{-3}\frac{\zeta^7-1}{\zeta-1}=0. $$
Por lo $p(x)$ es el polinomio mínimo de a $u=2\cos(2\pi/7)$. ¿Qué acerca de sus otros ceros? Galois teoría nos dice que los poderes $\zeta^k, k=1,2,3,4,5,6$ son exactamente los conjugados de la $\zeta$. Por lo tanto, los conjugados de la $u$ son de la forma $\zeta^{k}+\zeta^{-k}=2\cos(2k\pi/7)$.
Observar que $$ u^2-2=4\cos^2\frac{2\pi}7-2=2(2\cos^2\frac{2\pi}7-1)=2\cos\frac{4\pi}7 $$ la fórmula para el coseno de un ángulo de doblado, por lo $u^2-2$ es otro de los ceros de $p(x)$. Espero que ya no es una sorpresa que la tercera raíz es $2\cos\dfrac{8\pi}7$. Ver robjohn la respuesta para una forma de manera rápida a escribir esto como un polinomio de $u$. Además se observa que el ángulo de duplicar truco se detiene aquí, porque $2\cos\dfrac{16\pi}7=2\cos\dfrac{2\pi}7$.
Disponemos de una cíclica de la división de campo siempre que el discriminante de una irreductible cúbicos en $\Bbb{Z}[x]$ es un cuadrado perfecto - que parte generaliza. El engaño con las raíces de la unidad y de los cosenos es algo especial para este polinomio. Sin embargo, por el de Kronecker-Weber teorema de todos los cíclico extensiones de $\Bbb{Q}$ residen en el interior de algunos cyclotomic extensión. En otras palabras, las raíces de tales cúbicas puede ser escrito como polinomios con coeficientes racionales evaluado en algunos raíz de la unidad.
Anthony Shaw
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Si $a$ es una raíz, entonces tenemos $$ \frac{x^3+x^2-2x+1}{x}=x^2+(a+1)x+(a^2+a-2)\etiqueta{1} $$ Utilizando la ecuación cuadrática para resolver este rendimientos $$ \frac {1\pm\sqrt{9-2a-3a^2}}2\etiqueta{2} $$ para las otras dos raíces.
Después de que la Cuestión del Cambio
Cambiar el término constante sólo los cambios de $(1)$ ligeramente: $$ \frac{x^3+x^2-2x-1}{x}=x^2+(a+1)x+(a^2+a-2)\etiqueta{3} $$ y todavía tenemos $(2)$.
Desde el discriminante es $9-2a-3a^2$, sabemos que si una raíz es entre el$\frac{-1-2\sqrt{7}}3$$\frac{-1+2\sqrt{7}}3$, entonces las tres raíces son. Si alguna raíz está fuera de ese intervalo, las otras dos raíces no será real.
Después de considerar los comentarios de KCd, veo que $$ (x-a)(x-a^2+2)(x+a^2+a-1)\equiv x^3+x^2-2x-1\pmod{a^3+a^2-2a-1} $$ Por lo tanto, si $a$ es una raíz, entonces $a^2-2$ $-a^2-a+1$ son también raíces.
Kf-Sansoo
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Deje $\beta$ ser otra raíz de la ecuación dada, entonces: $\beta^3+\beta^2-2\beta+1 = 0 = \alpha^3+\alpha^2-2\alpha+1\to (\beta^3-\alpha^3)+(\beta^2-\alpha^2)-2(\beta-\alpha)=0\to (\beta-\alpha)(\beta^2+\alpha\beta+\alpha^2+\beta+\alpha-2)=0\to \beta^2+(\alpha+1)\beta+\alpha^2+\alpha-2=0$ desde $\alpha \neq \beta$. Usando la fórmula cuadrática, podemos encontrar una fórmula para $\beta$ en el plazo de $\alpha$. Es esta multa? Tenga en cuenta que este método supone que todas las raíces reales son distintos. Así que usted debe probar esto primero, y es igualmente interesante encontrar para usted también.
Claude Leibovici
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En una forma más general, si $a$ es la raíz de $$x^3+Ax^2+Bx+C=0$$ then $$x^3+Ax^2+Bx+C=(x-a)(x^2+Px+Q)$$ grouping terms we then have $$x^2 (a+A-P)+x (a P+B-Q)+a Q+C$$ and all coefficients must be zero. So, $$P=a+A$$ $$Q=B+aP=a^2+a A+B$$ The unused equation $$aQ+C=a^3+Aa^2+Ba+C=0$$ just confirms that $una$ es una raíz de la ecuación inicial.
Ahora, la solución de la ecuación cuadrática $x^2+Px+Q=0$, las otras dos raíces son dadas por $$x_{1,2}=\frac{1}{2} \left(-a-A\pm\sqrt{-3 a^2-2 a A+A^2-4 B}\right)$$
