Son algunos de los discretos (y todos los finitos) espacios métricos completos?

Question

Por ejemplo, me parece que a partir de la definición de completar ese $\mathbb{N}$ con (digamos) la métrica Euclidiana sería completa, ya que cualquier secuencia de Cauchy en $\mathbb{N}$ debe converger a un valor entero. (Que es, como se vería 5,1,4,2,3,3,3,3,3,3....) Por lo tanto, es realmente completo?

Del mismo modo, parece que cualquier espacio métrico en un conjunto finito estaría completa. Es esto correcto, y si no, ¿por qué no?

Si usted tiene sugerencias para textos o recursos en línea que me ayudaría con estos tipos de definiciones, que también sería impresionante. Muchas gracias!

Answer 1

Estás en lo correcto en su razonamiento. Más generalmente, si $(M, d)$ es un espacio métrico tal, que no existe $\epsilon > 0$ tal que para cualquier $x, y \in M$, $d(x,y) > \epsilon$ siempre $x\neq y$, $M$ es completa.

Para ver esto, decir $\{x_n\}$ es una secuencia de Cauchy. Entonces existe $N\in\mathbb{N}$ tal que para todo $n, m \geq N$, $d(x_n, x_m) < \epsilon$ (mismo $\epsilon$ anterior). Pero si $x_n\neq x_m$,$d(x_n, x_m) > \epsilon$. En otras palabras, para todos los $n, m \geq N$, $x_n = x_m$ - es decir, la "cola" de la secuencia es constante. Por lo tanto la secuencia obviamente converge.

Answer 2

Sí, esto es correcto. Como WNY señala en el comentario de abajo, no todos los discretos espacio métrico es completa. Cada discretos espacio métrico es completamente metrizable, sin embargo. Esto significa que podemos cambiar la métrica a un puesto equivalente, de modo que el espacio se completa en la nueva métrica.

La equivalencia de las métricas es mejor visto desde el punto de vista de la topología general, ya que significa que las dos métricas de rendimiento de la misma topología, pero también puede ser descrito en términos puramente de métricas: dos métricas $d_1$ $d_2$ son equivalentes si cada abierto balón $B_1$ en el primer indicador contiene $B_2$, abierto a la pelota en la segunda métrica y viceversa.

El ejemplo siguiente puede resultar útil:

Deje $M$ ser un conjunto arbitrario. Para $x,y\in M$, definir $$d(x,y)=\begin{cases}0; &\textrm{if }x=y\\1; &\textrm{if }x\neq y\end{cases}$$ A continuación, $(M,d)$ es un espacio métrico completo. Esa medida es usualmente referido como $the$ discretos métrica. (Pero tenga en cuenta que no todos los discretos espacio métrico es de esta forma).

Answer 3

Deje $(X,d)$ ser un espacio métrico completo, y dejar que $C$ ser un subconjunto de a $X$ de manera tal que la intersección de a $C$ con cada bola está cerrada, $C$ se completa así.

Ahora tratamos de demostrar la anterior afirmación. Deje $(x_n)$ ser una secuencia de Cauchy en $C$, $(x_n)$ está acotada. Por lo tanto $(x_n)$ está contenida en algunos de bola de $(X,d)$. Por lo anterior la propiedad $(x_n)$ es una secuencia de cauchy en un subconjunto cerrado de un espacio métrico completo, y por lo tanto, $C$ es un espacio métrico completo.

Para ver cómo el resultado anterior se aplica a su caso en particular de $\mathbb{N}$, considerar la intersección de $\mathbb{N}$ con cualquier bola de $B(x,r)$$x\in\mathbb{R}$$r>0$. A continuación, $\mathbb{N}\cap B(x,r)$ es un subconjunto finito de $\mathbb{R}$ y, por tanto, cerrada. Por el resultado anterior $\mathbb{N}$ es, por tanto, un completo espacio métrico (visto como un subespacio de $\mathbb{R}$ con su estándar de la topología).