En un pregunta anterior Pregunté cómo el Frobenius cuántico de Lusztig generaliza el mapa de Frobenius clásico en una variedad sobre un campo finito. Me dirigieron a un interesante papel de Kumar y Littlemann en el que se construyó un análogo cuantizado del multicono sobre una variedad de bandera. El respuesta afirmaba que "Tras la especialización y el cambio de base este morfismo se convierte en el morfismo estándar de Frobenius en la variedad bandera". Me parece que el artículo es bastante difícil de leer. ¿Podría alguien explicar, para el caso simple de $\mathbb{CP}^1$ , cuál es exactamente su análogo cuántico, si tiene algo que ver con la esfera q estándar de Podles, y cómo se define el Frobenius cuántico en ella.
Respuestas
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En general, la idea del documento de Kumar-Littelmann es la siguiente: Para un grupo semisimple G, establecer $V := \displaystyle \bigoplus_{n \geq 0} H^0(\lambda)$ , donde $\lambda$ es un peso regular dominante fijo para G. Entonces $V$ es el anillo de coordenadas proyectivo de $G/B$ bajo la incrustación $G/B \hookrightarrow \mathbb P( V( \lambda ) )$ , donde $V$ es el módulo de Weyl para $G$ de mayor peso $\lambda$ . En particular, se puede obtener la gavilla de funciones regulares sobre $G/B$ en la forma natural de $V$ .
Ahora, el morfismo (absoluto) de Frobenius sobre la variedad bandera $G/B$ induce un automorfismo de $V$ como $\mathbb F_p$ -y, de hecho, lo contrario es válido: el espacio vectorial apropiado $p^{th}$ -morfismo de poder $V \to V$ (que no es más que el morfismo de tomar $p^{th}$ potencias de secciones) induce el morfismo de Frobenius sobre $G/B$ (este es el proceso llamado "sheafificación" en su documento, véase la sección 6). El punto del artículo es que ahora se puede definir un módulo (llamémoslo $V'$ ) para el grupo cuántico asociado a $G$ de tal manera que al cambiar de base, $V'$ se convierte en $V$ . Además, el morfismo de Frobenius de Lusztig induce un morfismo $V \to V'$ (que llaman $Fr^*$ ) que, al cambiar de base, se convierte exactamente en el $p^{th}$ -morfismo de poder $V \to V$ .
Permítanme dar un ejemplo explícito para $\mathbb P^1$ . En este caso, $\mathbb P^1$ es la variedad de bandera de $G = SL_2$ . Dado que los pesos de $SL_2$ están parametrizados por números enteros, escribiré $H^0(n)$ para las secciones globales del haz de líneas correspondiente en $G/B$ (que es sólo una forma complicada de decir que $H^0(n) = H^0( \mathbb P^1, O(n) )$ donde $O$ debería ser una O de \Nmathscr, pero parece que no funciona). Entonces, en este caso, podemos tomar $V = \displaystyle \bigoplus_{n \geq 0} H^0(n)$ y $V$ es sólo $k[x, y]$ . El morfismo de Frobenius teórico del esquema en $G/B$ es inducido por el natural $p^{th}$ -morfismo de poder $V \to V$ , $\; s \mapsto s^{ \otimes p }$ (que es sólo el natural $p^{th}$ -morfismo de potencia en el anillo $k[x, y]$ ). Ahora cuantificamos esta imagen: Poner $$V' := \bigoplus_{n \geq 0} H^0( X, \chi_{n}^\xi ) ,$$ donde aquí estoy usando su notación del artículo (nótese que la "X" debería ser una X matemática como en el artículo, pero de alguna manera no puedo hacer matemática aquí). Es decir, $H^0( X, \chi_{n}^\xi )$ es el functor de inducción de $U_q(b)$ módulos a $U_q(g)$ aplicados a los módulos unidimensionales $U_q(b)$ -Módulo $\chi_{n}^\xi$ (véase la sección 2 del documento). La cuestión es que $V'$ es una versión cuantificada de $V$ y el morfismo de Frobenius de Lusztig induce un morfismo $Fr^* : V \to V'$ que, al cambiar de base, se convierte en el $p^{th}$ -morfismo de poder $V \to V$ .
(En cuanto a la esfera q de Podles, no sé lo que es, así que no puedo hablar de esa parte de tu pregunta).
(Edición: Me he dado cuenta de que hay una pequeña mentira blanca en lo que he escrito arriba, a saber, que el morfismo Fr* inicialmente no es del todo un morfismo de $V$ a $V'$ pero a partir de una versión característica-0 de $V$ a $V'$ ; sólo se consigue $V$ tras el cambio de base a característica positiva. Kumar y Littelmann construyen primero Fr* en la característica 0. Sin embargo, moralmente se puede ignorar esta cuestión en una primera pasada; es un poco confuso porque Fr* aparece en varias encarnaciones, tanto antes como después del cambio de base).
Kevin Ballard
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