Permitir $\delta:=\sqrt[3]{2}$, demuestran que, a $\mathbb{Z}[\delta]$ es el anillo de enteros de $\mathbb{Q}(\delta)$.
Aquí está lo que he hecho: vamos a $K:=\mathbb{Q}(\delta)$. Desde $[K:\mathbb{Q}]=3$, $1, \delta, \delta^2$ $\mathbb{Q}$- linealmente independientes (en particular, son $\mathbb{Z}$-independiente). Desde $1, \delta, \delta^2$ son enteros de $K$,$\mathbb{Z}[\delta]=<1, \delta, \delta^2>_{\mathbb{Z}}\subset\mathcal{O}_{K}$.
Para demostrar $\supset$, hice lo siguiente: si $z=a+b\delta+c\delta^2$ es un número entero de $K$, su mínimo polinomio $p(x)=x^3+c_2x^2+c_1x+c_0$ se encuentra en $\mathbb{Z}[x]$ y tiene raíces $\sigma_1(z),\sigma_2(z)$$\sigma_3(z)$, donde
\begin{align*} \sigma_1 &:\delta\mapsto\delta\\ \sigma_2 &:\delta\mapsto\omega\delta\\ \sigma_3 &:\delta\mapsto\omega^2\delta \end{align*}
son las incrustaciones de fijación $\mathbb{Q}$$\omega^3=1$. El uso de Viète relaciones obtenemos:
\begin{align*} c_2&=-\sum_{i}\sigma_i(z)= -3a\\ c_1&= \sum_{i<j}\sigma_i(z)\sigma_j(z)=3a^2-6bc\\ c_0&= -\prod_{i}\sigma_i(z)=-(a^3+2b^3+4c^3-6abc) \end{align*}
lo que nos da restricciones para $a, b, c$, ya que el $c_0, c_1, c_2\in\mathbb{Z}$. Desde $\delta z$ $\delta^2 z$ son también enteros de $K$, podemos calcular sus respectivos mínima polinomios y encontrar nuevas restricciones para $a, b, c$.
Después de un muy molesto análisis de caso, he podido demostrar que $a, b, c\in\mathbb{Z}$, concluyendo la prueba.
Esta solución se da como un toque por el profesor, y no me parece tampoco muy natural y, sobre todo, demasiado tiempo. Mi pregunta es: ¿hay una forma más natural y/o más corto solución para esto? Gracias!
