Resolver la ecuación trigonométrica $ \cot x + \cos x = 1 + \cot x \cos x $

Question

Resolver la ecuación trigonométrica: $$ \cot (x) + \cos (x) = 1 + \cot (x) \cos (x) $$ Traté de multiplicar ambos lados con $\sin x$ (que no estoy seguro de si puedo multiplicar con el pecado).

Answer 1

$$(\cot x-1)(\cos x-1)=0$$

$\cos x=1=\cos0\implies x=2m\pi\pm0=2m\pi$ donde $m$ es cualquier entero

$\cot x=1\iff\tan x=1=\tan\dfrac\pi4\implies x=n\pi+\dfrac\pi4$ donde $n$ es cualquier entero

Answer 2

Aviso, tenemos $$\cot x+\cos x=1+\cot x\cos x$$ $$\frac{\cos x}{\sin x}+\cos x=1+\frac{\cos x}{\sin x}\cos x $$ $$\cos x+\sin x\cos x=\sin x+\cos^2 x $$ $$\cos x+\sin x\cos x-\sin x-\cos^2 x=0 $$ $$\underbrace{\cos x-\sin x}+\underbrace{\sin x\cos x-\cos^2 x}=0 $$

$$(\cos x-\sin x)-\cos x(\cos x-\sin x)=0 $$ $$(1-\cos x)(\cos x-\sin x)=0 $$ $$1-\cos x=0\vee \cos x-\sin x=0$$ $$\cos x=1\vee \sin x=\cos x\iff \tan x=1$$ $$x=2k\pi\vee x=k\pi+\frac{\pi}{4}$$ Para todos, $k$ es cualquier entero

Answer 3

$$ \cot x + \cos x = 1 + \cot x \cos x $$

$$ \cot x + \cos x - 1 - \cot x \cos x =0$$

$$-( \cos x -1) (\cot x - 1) =0 $$

$$( \cos x -1) (\cot x - 1) =0 $$

Se puede terminar de aquí?