Suma de subespacios por factor de ajuste = 0

Question

Dados dos subespacios de $R^4$

$W = \operatorname{Span}( (1,1,0,-1), (1,2,3,0) )$

$U = \operatorname{Span}( (1, 2, 2, -2), (2, 3, 2, -3) )$

Hallar las ecuaciones cartesianas de la intersección.

Yo podría resolver este poniendo todos los vectores de la matriz como de las columnas y las coordenadas x,y,z,t en el lado y haciendo eliminación gaussiana (esto se deduce directamente de la definición).

En su lugar he leído un muy extraño (para mí) la solución a este problema.

Dado que

$$ \det \left(\begin{bmatrix}1&1&1\\1&2&2\\0&3&2\end{bmatrix}\right) = -1 \neq 0$$

y que el último vector es la suma de la primera y la tercera, una base de la suma es dado por los primeros 3 vectores, por lo que podemos encontrar ecuaciones cartesianas de la suma mediante el establecimiento de:

$$ \det \left(\begin{bmatrix}x&y&z&t\\1&1&1&-1\\1&2&2&0\\0&3&2&-2\end{bmatrix}\right) = 0.$$

Sin más se da una explicación podría usted por favor me explique cómo funciona este procedimiento?

Answer 1

La solución propuesta es simplemente incorrecto. Como ambos $W$ $U$ son de dos dimensiones, $W\cap U$ está a más de dos dimensiones. Sin embargo, la determinantal ecuación en la propuesta de solución es una sola ecuación lineal en cuatro incógnitas. Así, lo que se especifica es tridimensional en el subespacio, que no puede ser igual a $W\cap U$.

De hecho, desde la primera de tres vectores en las especificaciones de $W$ $U$ son linealmente independientes, y el cuarto vector es una combinación lineal de la primera y la tercera, sabemos de inmediato que $W\cap U$ es el lapso de la primera vector $(1,1,0,-1)^T$ (y se necesita un sistema de tres ecuaciones lineales para especificar este período, tales como $x=y,\,x=-t$$z=0$). Sin embargo, $(1,1,0,-1)$ no es ni siquiera una solución a la determinantal ecuación. Así, se puede ver cómo de malo que la solución propuesta.

Edit. Acabo de notar que hay un desajuste entre la pregunta del título (que es la suma de $W+U$) y la pregunta del cuerpo (que es cerca de la intersección $W\cap U$). De todos modos, la propuesta de solución todavía es incorrecto al $W+U$ es de que se trate. Tenemos $(1,1,0,-1)\in W\subseteq W+U$, pero del lado izquierdo de la determinantal la ecuación (lo que equivale a $2x+4y-5z+t=0$) $5$ al $(x,y,z,w)=(1,1,0,-1)$.