¿Cuál es el elemento de identidad para el subgrupo$H=\{a+b\sqrt{2}:a,b\in\mathbb{Q},\text{$ a$ and $ b$ are not both zero}\}$ del grupo$\mathbb{R}^*$?

Question

Para el subgrupo$H=\left \{a+b\sqrt{2} : a,b\in \mathbb{Q},\text{ $ a$ and $ b$ are not both zero}\right \}$ del grupo$\mathbb{R}^{*}$, ¿cuál es su elemento de identidad? Sé que debe ser$1$ ya que ese es el elemento de identidad para$\mathbb{R}^{*}$. No estoy seguro de cómo hacer$a+b\sqrt{2}=1$. ¿Algunas ideas?

Mi idea es que, dado que dice "no ambos son cero", uno de ellos puede ser cero, y entonces$b = 0$ y$a = 1$?

Answer 1

Desde$a+b\sqrt2=1$, puede derivarlo: si$b \neq 0$, luego$\sqrt2=\frac{1-a}{b} \in \mathbb{Q}$, lo cual es absurdo. Por lo tanto,$b=0$ y$a=1$.