Cohomología BRST y Gupta-Bleuler $.$

Question

Dejemos que $Q$ sea el operador BRST. Definir el estado físico como aquellos en $\mathrm{ker}\,Q$ (modulando su imagen): $$Q|\psi_\mathrm{physical}\rangle\equiv 0\tag1$$

A menudo se afirma que 1 que esta condición se convierte en la condición de Gupta-Bleuler si el grupo gauge es abeliano (es decir, en QED): $$(\partial\cdot A)^+|\psi_\mathrm{physical}\rangle\equiv 0\tag2$$ pero nunca he visto una prueba explícita de esta afirmación. De hecho, me parece que $(1)$ es local y no lineal en los campos, mientras que $(2)$ es no local y lineal. Por lo tanto, no espero realmente que estas condiciones sean totalmente equivalentes; o, al menos, esta equivalencia es bastante poco trivial. ¿Estoy siendo ingenuo? ¿Cómo se puede demostrar que la teoría BRST es realmente equivalente a la de Gupta-Bleuler cuando el álgebra es abeliana?

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1: Véase, por ejemplo, la última página de Notas de Timo Weigand o algunos comentarios en el artículo de Scholarpedia Simetría Becchi-Rouet-Stora-Tyutin ( ctrl+f "gupta").

Answer 1

La condición (1) es no equivalente a la condición (2) en el sentido de que la primera se reduciría a la segunda mediante cualquier manipulación algebraica. Sin embargo, lo que sí es cierto es que en la parte libre de fantasmas del espacio intermedio de estados en el que se impone la condición BRST, recorta precisamente el mismo subespacio que la condición Gupta-Bleuler.

Como tantas veces, una buena referencia para esto es "Cuantización de los sistemas gauge" ( QoGS ) de Hennaux y Teitelboim, en este caso el capítulo 19, donde la cuantización BRST de un campo libre de Maxwell se hace de forma bastante explícita.

En primer lugar, un breve repaso a la parte de la historia del BRST, conocida de forma más general como el "mecanismo del cuarteto":

Cuantificamos un sistema extendido formado por los campos dinámicos $A^\mu$ y un fantasma $C$ así como un antifantasma $\bar{C}$ . Después de algunas elecciones convencionales, la carga de BRST en términos de modos de Fourier es (eq. (19.36) en QoGS ) $$Q = \int \left( c^\ast (k) a(k) + c(k) a^\ast(k) \right)\mathrm{d}^3k, \tag{A}$$ donde $a = a^3 + a^0$ (es decir, el operador de creación/aniquilación para una excitación mixta longitudinal/temporal) y $c$ es el modo de Fourier del fantasma. Con $b = a^3 - a^0$ y $\bar{c}$ como el modo de Fourier del antifantasma, el operador numérico para los modos que queremos que resulten antifísicos es (ec. (14.62) en QoGS ) $$N = \int \left( a^\ast b + b^\ast a + \bar{c}^\ast c + c^\ast \bar{c} \right)\mathrm{d}^3 k, \tag{B}$$ y este operador conmuta con la carga BRST y es BRST exacto con $N=[Q,K]$ para el "fermión" $K = \int \left(b^\ast(k)\bar{c}(k) + \bar{c}^\ast(k) b(k) \right)\mathrm{d}^3 k$ . Esto implica que los estados propios cerrados de BRST de $N$ con valor propio no nulo son BRST-exactos, por lo que la única contribución a la cohomología BRST no nula puede provenir de estados propios nulos de $N$ . Esto significa que el espacio de estado físico es el espacio generado por los modos fotónicos longitudinales $a^1,a^2$ que concuerda con el resultado del formalismo de Gupta-Bleuler después de cotejar los estados nulos espurios.

Ahora también podemos observar que en la parte libre de fantasmas del espacio, $Q\lvert \psi\rangle = 0$ se mantiene para todos los estados que no implican $a$ es decir, los estados cerrados de BRST incluyen los estados no físicos generados por el modo nulo $b$ así como los estados físicos generados por $a^1,a^2$ . Esto es precisamente lo mismo que el núcleo de la condición de Gupta-Bleuler $(\partial\cdot A)^+$ que es el espacio con $p^\mu \zeta_\mu = 0$ donde $p$ es el momento normalizado a $(1,0,0,1)^T$ y $\zeta$ la polarización. Obsérvese que los modos nulos espurios corresponden a la polarización $\zeta \propto p$ y que son generados por $$\sum_\lambda \alpha_\lambda a^{\ast\lambda},$$ donde $\alpha$ son números determinados por $$\zeta^\mu = \sum_{\lambda,\lambda'} \alpha_\lambda \eta_{\lambda\lambda'} \epsilon^\mu(\lambda')$$ para la base estándar de 4 vectores $\epsilon(\lambda)$ , por lo que tenemos $$\begin{align} \zeta^\mu & = \sum_{\lambda,\lambda'} \alpha_\lambda \eta_{\lambda\lambda'} \epsilon^\mu(\lambda') = -\alpha_0 \epsilon^\mu(0) + \sum_i \alpha_i \epsilon^\mu(i) \implies \alpha_0 = -\alpha_3, \end{align}$$ es decir, los estados espurios incluidos en la condición de Gupta-Bleuer, además del estado transversal de $a^1,a^2$ son precisamente los generados por $\alpha_3 (a^0 - a_3) \propto b$ , en plena concordancia con el espacio libre de fantasmas cerrado por BRST.