Es allí una manera de hacer tangente paquete de una mónada?

Question

La tangente paquete functor $T: \mathbf{Diff} \to \mathbf{Diff}$ junto con el paquete de proyección $\pi: T \Rightarrow 1_\mathbf{Diff}$ básicamente grita 'mónada' a mí, sobre todo porque ambos $\pi T$ $T \pi$ satisfacer el axioma de asociatividad, pero hasta ahora no he podido encontrar una adecuada unidad (la sección cero no funciona, aunque todavía hay una posibilidad de que hasta un 3-equivalencia gracias a la canónica de la involución entre el$\pi T$$T \pi$).

Es posible hacer $T$ una monada? Do $T$-álgebras de tener una buena descripción?

Answer 1

Sí, hay un único mónada en la tangente endofunctor. Su unidad es el cero de la sección y su multiplicación es $T \tau + \tau T$, la suma de las dos proyecciones de la segunda tangente paquete a la tangente del paquete. Es sencillo comprobar que es una monada y no demasiado duro (usando 'funciones de prueba' y connaturalidad) para mostrar que es el único. Además, no hay ninguna comonad en $T$ (aproximadamente, porque no hay ninguna conexión natural en un colector).

Este es el punto de partida de la charla que di que Qiaochu vinculado. La mayor parte de la charla fue sobre el estudio (en progreso) de su $T$-álgebras, y actualmente estoy escribiendo un artículo acerca de esto. Voy a poner un enlace aquí cuando esté disponible.