Que $j\colon V \to M$ ser una incrustación primaria superstrong (es decir, $M$ es transitiva y $j\neq id$ $V_{j(\kappa)} \subseteq M$ $\kappa$ Dónde está el punto crítico de $j$).
¿Es necesariamente inaccesible en $j(\kappa)$ $V$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Yair Hayut
Puntos
176
La respuesta parece ser negativa. De hecho, más es cierto:
Reclamo: Vamos a $j\colon V\to M$ ser un superstrong incrustación con punto crítico $\kappa$ y el de destino $\lambda$ ( $j(\kappa) = \lambda$ ). Si $\lambda$ es regular, entonces no es un club de $C \subseteq \lambda$ tal que para todos los $\mu \in C$, hay un superstrong incrustación con punto crítico $\kappa$ y el de destino $\mu$. En particular, la primera superstrong cardenal tiene un singular destino.
Prueba: Vamos a $E = \langle E_\alpha \mid \alpha < \lambda\rangle$ ser un extensor de que los testigos de la superstrength de $\kappa$ con destino a $\lambda$. Para cada $x\in V_\lambda$ hay una secuencia finita $\eta \in \lambda^{<\omega}$ y una función de $f\colon \kappa\to V_\kappa$, de tal manera que $j_E(f)(\eta) = x$.
Deje $C$ ser el conjunto de todos los $\beta < \lambda$, tal que:
- Para todos los $\eta \in \beta^{<\omega}$ y $f\colon \kappa \to \kappa$, $j_E(f)(\eta) < \beta$.
- Para todos los $x\in V_\beta$ hay $\eta \in \beta^{<\omega}$ $f\colon \kappa \to V_\kappa$ tal que $j_E(f)(\eta) = x$.
$C$ es un club como el conjunto de cierre de los puntos de $2^\kappa < \lambda$ muchas funciones.
Yo reclamo que por cada $\beta\in C$ la primaria de la incrustación de usar el extensor $E \restriction \beta$ es un superstrong incrustación con destino $\beta$. De hecho, todos los $x\in V_\beta$ está representado en este extensor por una función de $\kappa$ $V_\kappa$y un generador de $\eta\in\beta^{<\omega}$. Claramente, $j_{E\restriction \beta}(\kappa) \geq \beta$. Si $j_{E\restriction \beta}(\kappa) > \beta$, entonces existe una función de $f\colon \kappa \to \kappa$ $\eta \in \beta^{<\omega}$ tal que $j_{E\restriction \beta}(f)(\eta) = \beta$. Pero $j_E(f)(\eta) \geq j_{E\restriction \beta}(f)(\eta) = \beta$, lo que contradice la suposición de que $\beta \in C$. Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que $\beta = j_{E\restriction \beta}(\kappa)$, como quería.
Edit: al Parecer, para cualquier superstrong cardenal $\kappa$, el mínimo de destino ha cofinality entre el $\kappa^{+}$ $2^\kappa$ (por lo bajo GCH - siempre es $\kappa^{+}$). Esto se deduce del Teorema 3.3 en este papel de Perlmutter. La idea es que si $j\colon V \to M$ es un superstrong incrustación con punto crítico $\kappa$$\theta = \sup_{f\colon \kappa \to \kappa} j(f)(\kappa)$, entonces no es un superstrong incrustación con punto crítico $\kappa$ y el de destino $\theta$. Si el cofinality de $j(\kappa)$ está por debajo de $\kappa$$2^\kappa$, es posible deducir que el $\theta < j(\kappa)$.
