Definición propuesta de un sistema contable

Question

Considere la siguiente definición propuesta:

Un conjunto $X$ es contable iff $X=\emptyset$ o existe $x_0\in X$ $f:X\to X$ tal forma que:

$\forall P\subset X: [x_0\in P \land \forall x\in P: [f(x) \in P] \implies P=X]$

En otras palabras, un conjunto $X$ es contable iff $X$ está vacío o de inducción tiene en $X$.

Tenga en cuenta que, por definición, si $X=\{x_0\}$ $X$ es contable. La identidad de la función en $X$ sería necesaria "la función sucesor."

Por esta definición, el conjunto de los números naturales es trivialmente contables.

Comentarios? Es esta definición algo nuevo?

Answer 1

Podemos demostrar si $X$ satisface esta propiedad, entonces hay un surjection $g:\mathbb N\rightarrow X$. Así $X$ es contable en el sentido habitual. Por supuesto sostiene lo contrario, como ustedes ya saben.

Definición de $g$ $g(0)=x_0$ y $g(n+1)=f(g(n)),\forall n\in\mathbb N$. Entonces por la propiedad en cuestión, la imagen de $g$ es igual a $X$, $g$ es sobreyectiva.

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Espero que esto ayude.