Creo que la solución sería revisar todos los $\mathbb{Z}_n$ y cuenta todos los elementos que son relativamente prima a $n$. Si hay 44 de ellos, he encontrado un ejemplo de tal grupo. Sin embargo este es un proceso bastante largo. ¿Puedes pensar en una mejor solución? ¿O puedo optimizar esto de alguna manera?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Así, en primer lugar tenga en cuenta que $x\in\mathbb{Z}_n$ genera $\mathbb{Z}_n$ si y sólo si $\gcd(x,n)=1$.
Así que usted está buscando una solución de la ecuación
$$\varphi(n)=44$$
se $\varphi$ es el de Euler totient función. Usted puede simplemente buscar una solución. Pero vamos a tratar de aplicar ingeniería inversa. La función que tiene algunas propiedades, como por ejemplo
$$\varphi(xy)=\varphi(x)\varphi(y)\text{ if }x,y\text{ are relatively prime}$$ $$\varphi(p)=p-1\text{ for prime }p$$
Así que vamos a tratar:
- $45$ no es primo. No se puede utilizar la segunda propiedad. La mala suerte.
- $44=2\cdot 22$
- Tanto en $3$ $23$ son los principales (y relativamente primos)
- $44=2\cdot 22=\varphi(3)\cdot\varphi(23)=\varphi(3\cdot 23)=\varphi(69)$
