Prueba $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\log (n!)}{n \sqrt[n]{\log 2 \cdot \log 3 \cdots \log n}}=1$

Question

Este valor se aproxima a la relación entre la media aritmética y la media geométrica de los logaritmos de los números naturales (aquí $\log$ es el logaritmo natural):

$$\frac{\log 2+\log 3+\dots + \log n}{n \sqrt[n]{\log 2 \cdot \log 3 \cdots \log n}}=\frac{\log (n!)}{n \sqrt[n]{\log 2 \cdot \log 3 \cdots \log n}}$$

Numéricamente, el límite parece acercarse a $1$ desde arriba, sin embargo la convergencia es lo suficientemente lenta como para que tenga dudas:

No sé cómo probar este límite, ya que el denominador no tiene ninguna forma cerrada agradable. Podría utilizar la aproximación de Stirling para el numerador, pero ¿de qué serviría?

¿Cómo podemos demostrar el valor de este límite (si es que es correcto)?

$$\lim_{n \to \infty} \frac{\log (n!)}{n \sqrt[n]{\log 2 \cdot \log 3 \cdots \log n}}=1$$

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Además, me parece bastante interesante que la secuencia tenga un máximo en $n=35$ que tiene este aspecto:

Como pregunta adicional, me gustaría saber cómo probar este valor máximo (al menos el hecho de que la secuencia sólo tiene un máximo, que entonces podríamos encontrar por simple evaluación para pequeños $n$ ).

Si consideramos otra secuencia (con los medios adecuados esta vez, ya que hay $n-1$ logaritmos para el $n$ elemento):

$$\frac{\log (n!)}{(n-1) \sqrt[n-1]{\log 2 \cdot \log 3 \cdots \log n}}$$

Muestra el mismo comportamiento pero con un máximo para $n=12$ .

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Una idea es tomar el logaritmo de la expresión:

$$\log \left(\frac{\log (n!)}{n \sqrt[n]{\log 2 \cdot \log 3 \cdots \log n}} \right)=\log \left(\log (n!) \right)- \log n -\frac{1}{n} \left( \log (\log 2)+ \dots +\log (\log n) \right)$$

Supongo que esto es más fácil de trabajar, aunque todavía no tengo ni idea de cómo probar el límite.

Answer 1

• Tenga en cuenta que si $f : [a, \infty) \to \mathbb{R}$ es creciente, entonces

  $$ \int_{m-1}^{n} f(x) \, dx \leq \sum_{k=m}^{n} f(k) \leq \int_{m}^{n+1} f(x) \, dx. $$

• Aplicando la observación anterior a $f(x) = \log x$ tenemos

  \begin{align*} \sum_{k=1}^{n} \log k &= \int_{1}^{n} \log x \, dx + \mathcal{O}(\log n) \\ &= n \log n - n + \mathcal{O}(\log n) \end{align*}

  donde la última línea se deduce de la integración por partes.

• Del mismo modo, aplicando la observación anterior a $f(x) = \log\log x$ tenemos

  \begin{align*} \sum_{k=2}^{n} \log\log k &= \int_{2}^{n} \log\log x \, dx + \mathcal{O}(\log\log n) \\ &= \left[ x \log\log x \right]_{x=2}^{x=n} - \int_{2}^{n} \frac{dx}{\log x} \\ &= n \log\log n + \mathcal{O}\left(\frac{n}{\log n}\right) \end{align*}

  donde la última línea se deduce de la regla de L'Hospital:

  $$ \frac{\int_{2}^{n} dx / \log x}{n / \log n} \sim \frac{\frac{1}{\log n}}{\frac{1}{\log n} - \frac{1}{\log^2 n}} \sim 1. $$

• Por lo tanto, tenemos

  $$ \frac{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\log k}{\exp\left(\frac{1}{n}\sum_{k=2}^{n}\log\log k \right)} = \frac{\log n - 1 + o(1)}{\exp(\log\log n + o(1))} = 1 + o(1)$$

  como desee. De hecho, el cálculo indica que

  $$ \frac{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\log k}{\exp\left(\frac{1}{n}\sum_{k=2}^{n}\log\log k \right)} = 1 + \mathcal{O}\left(\frac{1}{\log n}\right)$$

  y creo que este límite es agudo hasta una constante genérica.