Encontrar el máximo de dos funciones polinómicas

Question

Digamos que tengo

$$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\ \qquad\qquad\quad x\mapsto x^3+x^2-6x$$

y

$$g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\ \qquad\quad x\mapsto 3x+9$$

y necesito encontrar $\max(f,g)$. Comencé apoyándolos igual y la búsqueda de las raíces, pero esto no parece ser la manera correcta. ¿Cómo se encuentra el máximo de dos funciones? Sé, por ejemplo

$$\max(f,g)(x) = \max\{f(x),g(x)\}$$

Answer 1

Usted tiene la idea correcta.

La mejor manera de ir sobre la búsqueda de $\textrm{max}(f,g)$ es encontrar sus puntos de intersección mediante el establecimiento $f=g$ y la búsqueda de las raíces, y luego marca los dos gráficos para ver donde cada uno está en un máximo.

En su caso, las dos funciones se cruzan en $x = -3$, $x = -1$ y $x = 3$. Mirando el gráfico anterior, podemos ver claramente que de $f$ $g$ a un máximo para cada uno de los intervalos $x \leq -3$, $-3 \leq x \leq -1$, $-1 \leq x \leq 3$ y $x \geq 3$. Como resultado obtenemos que

\begin{equation*} \textrm{max}(f,g) = \left\{\begin{array}{cc} 3x + 6 & x \leq -3 \\ x^3 + x^2 - 6x & -3 \leq x \leq -1 \\ 3x + 6 & -1 \leq x \leq 3 \\ x^3 + x^2 - 6x & x \geq 3 \end{array} \right. \end{ecuación*}

Esta función tiene este aspecto para $-5 \leq x \leq 5$:

Answer 2

Respuesta de ODF es grande y probablemente debería aceptarlo. Si quieres una fórmula única, puede utilizar simplemente que $$\max(f,g)(x) = \frac{f(x)+g(x) + |f(x)-g(x)|}{2},$$although further analysis will require you to attack that absolute value. You also have $% $ $\min(f,g)(x) = \frac{f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|}{2}.$