$\exists x \in R$ y $\exists n \in\mathbb{N}$ tal que $x^{n+1} = x^n \implies x^2 = x$

Question

Dejemos que $(R,+,\cdot)$ sea un anillo tal que $a^2 = 0 \iff a=0$ . Dejemos que $x \in R$ tal que $\exists n \in \mathbb{N}, n \geq 2$ para lo cual $x^{n+1} = x^n$ . Demostrar que $x^2 = x$ .

Intenté probar que $(x^{n} - x^{n-1})^2 = 0$ y así sucesivamente para que logre $(x^2 - x)^2 = 0$ pero no lo conseguí.

Answer 1

Tenga en cuenta que para $k\geq 0$ tenemos $x^{n+k}=x^n$ . Por lo tanto, obtenemos

$$ (x^n - x^{n-1})^2 = x^{n-2} (x^{n+2} + x^{n} -2x^{n+1}) =x^{n-2} \cdot 0 =0$$

y por lo tanto $x^n= x^{n-1}$ .

Answer 2

Dejemos que $\ell$ sea tal que $2^\ell\geq n$ . En primer lugar, observe que si demostramos que $(x^2 - x)^{2^\ell} = 0$ entonces, la afirmación se cumplirá. Por lo tanto, nos centramos en demostrar que.

Tenemos que $$(x^2 - x)^{2^\ell} = x^{2^\ell}\sum_{r=0}^{2^\ell}\binom{2^\ell}{r}x^r\cdot (-1)^r = \sum_{r=0}^{2^\ell}\binom{2^\ell}{r}x^{2^\ell + r}\cdot (-1)^r = \sum_{r=0}^{2^\ell}\binom{2^\ell}{r}x^{2^\ell}\cdot (-1)^r,$$

donde esta última igualdad se deduce del hecho de que para cualquier $k$ mayor que $n$ tenemos $x^n = x^k$ . Ahora, la última expresión puede escribirse como $$x^{2^\ell}\sum_{r=0}^{2^\ell}\binom{2^\ell}{r}\cdot (-1)^r = x^{2^\ell}\cdot(1 - 1)^{2^\ell} = 0.$$

Esto es aparentemente una exageración dada la agradable respuesta de Severin, pero es bueno tener un enfoque diferente también :)

Answer 3

Tenga en cuenta que $x^m=x^n$ para todos $m\ge n$ .. Entonces $$\begin{align}(x-x^2)^n&=\sum_{k=0}^n {n\choose k}(-1)^kx^{n+k}\\ &=\sum_{k=0}^n {n\choose k}(-1)^kx^{n}\\&=x^n\sum_{k=0}^n {n\choose k}(-1)^k\\&=x^n(1-1)^2=0\end{align}$$ y por la divertida propiedad de $R$ , $x=x^2$ .