Encuentre $\lim_{n\to \infty} \big[\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{2\cdot5}+...+\frac{1}{n\cdot(2n+1)}\big]$

Question

Encuentre $\displaystyle\lim_{n\to \infty} \bigg[\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{2\cdot5}+...+\frac{1}{n\cdot(2n+1)}\bigg]$ .

Esta es una pregunta similar a la que he hecho hace una hora. Encuentre $\lim_{n\to \infty} (1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-...-\frac{1}{2n})$

Pero aquí, no soy capaz de reordenar los términos para utilizar el hecho de que $\gamma_{n}=\sum_{n=1}^n \frac{1}{n} -\log(n)$ .

¿Alguna idea? ¿O hay alguna otra forma de encontrar el límite?

Answer 1

Utiliza eso $\frac1{n(2n+1)}=2\left[\frac1{2n}-\frac1{2n+1}\right]$ para reducir el problema a la búsqueda de $1-\frac12+\frac13-\frac14+\dots$ Se trata de una serie clásica, que suma $\ln 2$ . (Se puede ver esto considerando la expansión en serie de potencias de $\ln(1+x)$ y evaluando en $x=1$ utilizando el teorema de Abel. Hay otras formas). Te dejaré el álgebra fácil que da el valor que necesitas de esta serie.

Answer 2

Nota: Publico esta respuesta para ayudar a otros usuarios.

Por último, como dijo el señor Martin Sleziak en el chat y Andrés E. Caicedo insinuó en su respuesta ,

$T_n=\frac1{n(2n+1)}=2\left[\frac1{2n}-\frac1{2n+1}\right]$ .

Podemos relacionar el límite de esta secuencia $\langle x_n\rangle$ con la suma parcial de $n$ términos de la serie $\sum_{n = 1}^\infty 2\left[\frac1{2n}-\frac1{2n+1}\right]$ . Y como $n\to \infty$ la serie se suma a [ $2-\ln(4)$ ] , que es igual a nuestro límite.