¿Cuál es la noción correcta de factorización única en un anillo?

Question

Recientemente estuve escribiendo algunas notas sobre la teoría básica del anillo conmutativo, y estaba tratando de convencerme de por qué era una buena idea estudiar los dominios integrales cuando se trata de la factorización única.

Si $R$ es un anillo conmutativo, y $a$ es un divisor de cero, no podemos esperar $a$ en general para tener una factorización única en el sentido ordinario, visto por ejemplo por el hecho de que $2*4=2$ en $ \mathbb {Z}/6 \mathbb {Z}$ .

Pero esto sólo me hace pensar que en lugar de centrarnos en los dominios, deberíamos centrarnos en los elementos que no son divisores cero. De hecho, podemos dejar $R_z$ ser el conjunto de elementos que no son divisores de cero. Entonces si $R$ no es trivial, $R_z$ es un monoide conmutativo bajo multiplicación que contiene las unidades. Además $R_z$ tiene la bonita propiedad de que cualquiera si $a_1 \dots a_n = b$ es una factorización de $b \in R_z$ entonces todos los $a_i$ están en $R_z$ .

En este escenario, podemos decir que $R$ El hecho de tener una factorización única significa que $R_z/R^ \times $ es un monoide conmutativo libre. En el caso de que $R$ es un dominio, esto concuerda con la definición de un UFD.

Ahora los argumentos estándar sobre la factorización de los elementos no nulos en los dominios parecen funcionar igual de bien para $R_z$ . Por ejemplo, en un anillo noetheriano, cada elemento de $R_z$ puede ser factorizado en algunas veces irreducibles por unidad.

Del mismo modo, parece que la prueba pasa por el principio de que los anillos ideales son anillos de factorización únicos (en mi sentido).

Así que mis preguntas son:

¿Es correcto lo que digo? Si es así, ¿por qué normalmente nos limitamos a los dominios cuando muchos argumentos pasan por anillos arbitrarios sin más esfuerzo (siempre y cuando estemos dispuestos a ignorar las divisiones cero)? ¿Hay otras generalizaciones naturales de la factorización única de elementos de un anillo para el que se pueden probar teoremas análogos sin más dificultad?

Mirando a este pregunta, encontré este y este que tenía ejemplos de generalizaciones de factorización única a anillos más generales. El primero de ellos considera esencialmente un tipo de anillo domesticado en el que los divisores cero no son tan malos en términos de factorización, y mi impresión del segundo es que ejerce un gran esfuerzo tratando de generalizar la noción de factorización única en la medida en que se hace significativamente más complicada.

Se agradece cualquier sugerencia.

Answer 1

Es probable que esto sea más una contribución a lo que está buscando que una respuesta precisa a su pregunta.

Como las propiedades únicas de factorización tienen poco que ver con la adición del anillo, permítanme cambiar a los monoides conmutativos. Dejemos que $H$ ser monoide conmutativo y dejar $ \leq $ ser el preordenamiento de la división, definido por $$ a \leqslant b \iff \text {there exists $ x \in H $ such that $ ax = b $} $$ Asumamos que $ \leqslant $ es en realidad una orden parcial. Los elementos irreductibles y primarios pueden definirse ahora como

Definición 1 . Un elemento $x \in H$ es irreducible si, para cada conjunto finito $I$ de tal manera que $x = \prod_ {i \in I}x_i$ existe $i \in I$ de tal manera que $x_i = x$ .

Tengan en cuenta que $1$ no es irreducible ya que $1 = \prod_ {i \in \emptyset }x_i$ .

Definición 2 . Un elemento $x \in H$ es prime si, para cada conjunto finito $I$ de tal manera que $x \leqslant \prod_ {i \in I}x_i$ existe $i \in I$ de tal manera que $x_i \leqslant x$ .

En el semilateo de unión representado abajo, $1$ , $p$ , $q$ y $r$ son irreducibles; $p$ et $q$ son de primera calidad, pero $r$ no lo es. Todos los elementos son idempotentes.

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Definición 3 . La descomposición de un elemento $x$ es una familia finita $D = (x_i)_{i \in I}$ de elementos irreductibles tales que $x = \prod_ {i \in I}x_i$ .

Definición 4 . Deje que $D = (x_i)_{i \in I}$ y $D' = (x'_i)_{i \in I'}$ ser dos descomposiciones de $x$ . Luego $D$ es más reducido que $D'$ si hay un mapa de inyecciones $ \sigma :I \to I'$ de tal manera que, para todos $i \in I$ , $x_i \leqslant x'_{ \sigma (i)}$ .

Aquí está la definición principal.

Definición 5 . Un monoide $H$ es factorial si, para cada elemento $x \in H$ , el conjunto de descomposiciones de $x$ tiene un elemento mínimo, llamado descomposición reducida de $x$ .

He aquí un ejemplo no trivial, con una cadena ascendente y descendente infinita. Esto es de nuevo una semilatada de unión. Los elementos irreductibles son $a$ , $b$ el $x_n$ y los $y_n$ 's. Sólo hay dos elementos primarios: $a$ y $y_1$ . En efecto $y_2$ por ejemplo, no es primo desde que $y_2 \leqslant ay_1 = x$ pero $y_2 \not\leqslant a$ y $y_2 \not\leqslant y_1$ . La reducida descomposición de $x$ es $x = ay_1$ .

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¿Qué se puede probar con esta noción? El resultado principal es que los monoides factoriales tienen lcm, pero no necesariamente gcd. Además, si $H$ es factorial, entonces $(H, \text {lcm})$ también es factorial.

Referencia . Este material es de esto (francés y mal escrito) papel .