factor de un número

Question

¿Por qué es cierto que si 7 divide 91 entonces $(2^7-1) $ divide $(2^{91}-1)$?

1) $2^{91}-1$

$7|91 \implies (2^7-1)|(2^{91}-1)$

$\implies 2^7-1$ es factor

2) $2^{1001}-1$

$7|1001 \implies (2^7-1)|(2^{1001}-1)$

$\implies 2^7-1$ es factor

Answer 1

Puede ser ilustrativo para escribir los números en binario. Usaré $2^{21} - 1 = (2^7)^3 - 1$ $2^{91} - 1$, ya que es más corto:

$$\begin{aligned} 2^{21} - 1 &= \underbrace{111111111111111111111}_{21\text{ digits}}\,\vphantom1_2 \\ &= \underbrace{1111111}_{7\text{ digits}}\,\underbrace{1111111}_{7\text{ digits}}\,\underbrace{1111111}_{7\text{ digits}}\,\vphantom1_2 \\ &= 1111111_2 \times 100000010000001_2 \\ &= (2^7 - 1) \times (2^{14} + 2^7 + 1). \end{alineados} $$

Answer 2

Tenemos %#% $ #%

Más generalmente:

$$2^{91}-1 = (2^7)^{13}-1 = (2^7-1)((2^7)^{12}+...+2^7+1)$$

así $$2^{ab}-1 = (2^a)^{b}-1 = (2^a-1)((2^a)^{b-1}+...+2^a+1)$

Y podemos reemplazar $2^a-1\mid 2^{ab}-1$ con cualquier otro número.