Una suma exponencial infinita

Question

Estaba tratando de crear un problema para un examen que estoy escribiendo, y terminé intentando evaluar

$$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{e^n-1}.$$

Definitivamente esto converge, pero no tengo idea de cómo encontrar un valor exacto. ¿Alguien tiene alguna idea?

Answer 1

La respuesta de Goos estuvo cerca. Escriba $$\frac{1}{e^n-1} = \frac{e^{-n}}{1-e^{-n}} = \sum_{k=1}^\infty e^{-nk}$$ Entonces tu suma es, después de reorganizar:

$$\sum_{m=1}^\infty \tau(m) e^{-m}$$

Donde $\tau(m)$ es el número de divisores positivos de $m$.

Probablemente no haya mucho más que puedas hacer con eso.

Answer 2

El cálculo de Mathematica implica la función q-digamma:

$$ -\psi_{1/e}(1) + 1 - \log(e-1) $$