Una suma exponencial infinita

Question

Estaba tratando de crear un problema para una prueba que estoy escribiendo y terminé tratando de evaluar

$$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{e^n-1}.$$

Esto definitivamente converge, pero no tengo ni idea de cómo encontrar un valor exacto. ¿Alguien tiene alguna idea?

Answer 1

Respuesta de GOOS estaba cerca. Escriba $$\frac{1}{e^n-1} = \frac{e^{-n}}{1-e^{-n}} = \sum_{k=1}^\infty e^{-nk}$ $ entonces su suma es, después de la reorganización:

$$\sum_{m=1}^\infty \tau(m) e^{-m}$$

Donde $\tau(m)$ es el número de divisores positivos de $m$.

Probablemente no mucho más que puede hacer con él.

Answer 2

Cálculo de Mathematicaincluye la función digamma q:

$$ -\psi_{1/e}(1) + 1 - \log(e-1) $$