Evaluar

Question

Evaluar $\lim_\limits{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{\cos(xy)-1}{x^2y^2}$

El límite que hace existir.

Lo único que puedo pensar es que $t=xy$. Entonces llega a ser nuestro límite

$$\lim_{t\to 0}\dfrac{\cos(t)-1}{t^2}=\lim_{t\to 0}\dfrac{\cos(t)-1}{t^2}\dfrac{(\cos(t)+1)}{(\cos(t)+1)}=\lim_{t\to 0}\dfrac{-\sin^{2}t}{t^2(\cos(t)+1)}$$

Esto es cuanto tengo y entonces no sé. No incluso seguro si este es el mejor método para encontrar el límite.

Ayudaría a cualquier insinuación.

Gracias.

Answer 1

Sabes que $$\lim_{t\to 0} \frac{\cos t-1}{t^2} =-\frac{1}{2}, $$using L'Hospital, for example. This tells us that $g\colon \Bbb R \to \Bbb R $ defined by $$g(t) \doteq \begin{cases} \dfrac{\cos t-1}{t^2}, \mbox{if } t \neq 0 \\[.5em] -\dfrac{1}{2}, \mbox{if }t=0\end{cases}$$is continuous. Because of that, we can write $% $ $\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{\cos (xy)-1}{x^2y^2} = \lim_{(x,y) \to (0,0)} g(xy) = g\left(\lim_{(x,y)\to (0,0)}xy\right) = g(0) = -\frac{1}{2}.$

Answer 2

Usted está básicamente hecho,

Me gustaría romper la expresión dentro del límite,

$$\frac{-1}{1+\cos t} \frac{\sin t}{t} \frac{\sin t}{t}$$

A continuación, utilice la regla del producto para conocer los límites y el famoso límite de $\frac{\sin t}{t} \to 1$$t \to 0$.

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Editar

Como por la respuesta de @Steven Stadnicki, su límite es sólo igual a la de una sola variable límite si $xy \neq 0$ a medida que nos acercamos al origen. De lo contrario, la expresión no está aún definido, incluso si estamos muy cerca del origen. Es más seguro decir que $f(x,y)=\frac{\cos (xy)-1}{(xy)^2}$ tiende a negativos media medida que nos acercamos al origen que va a través de los puntos que forman parte del dominio de $f$ en los cuales la función está definida.

Answer 3

Sugerencia. Uno puede recordar que, como $t \to 0$, $$ \cos t \to 1, \qquad \frac{\sin t} {t} \to 1 $$ giving, as $t \to 0$, $$ \dfrac{-\sin^{2}t}{t^2(\cos(t)+1)} \to-\frac12. $$

Answer 4

Para ampliar mis comentarios anteriores en una un poco la contraria respuesta: yo diría que el límite superior, como está escrito, no existe. Esto es debido a que la definición de límite requiere que la función se define en una pinchada barrio de el punto en cuestión; más específicas para este caso, podemos decir que el límite de $\langle x,y\rangle\to\langle0,0\rangle$ $L$ fib para cada $\epsilon$ existe un $\delta$ tal que para todos los $\langle x,y\rangle\neq\langle 0,0\rangle$ con $\left|\langle x,y\rangle-\langle0,0\rangle\right|\lt\delta$, $\left|f(x,y)-L\right|\lt\epsilon$. Esto no lleva a cabo aquí, porque hay muchos a $\langle x,y\rangle$ que $f(x,y)$ (definido como $f(x,y) = \dfrac{\cos(xy)-1}{x^2y^2}$) no está definido — es decir, todos los puntos de la forma $\langle x,0\rangle$ o $\langle 0,y\rangle$.

Tenga en cuenta que es posible definir $f(x,y)$ en los puntos en los ejes de tal manera que la función es continua en todos los de $\mathbb{R}^2-\langle0,0\rangle$: sólo tiene que utilizar el mismo truco que se da en las respuestas y decir que $f(x,0)=-\frac12$$x\neq 0$, y de la misma manera $f(0,y)=-\frac12$$y\neq0$. A continuación, el límite de la función en $\langle x,y\rangle\to\langle0,0\rangle$ existe y se puede encontrar utilizando las técnicas que se presentan en las otras respuestas (con algo de cuidado de la justificación). Pero esto no es cómo la función inicial $f()$ está definido.

Answer 5

$$\lim_{t\to 0}\dfrac{\cos(t)-1}{t^2}=\lim_{t\to 0}\dfrac{\cos(t)-cos(0)}{t^2} $$

$$\lim_{t\to 0}\dfrac{\cos(t)-cos(0)}{t^2}=\lim_{t\to 0}\dfrac{-2\sin(\frac t 2)\sin(\frac t 2 )}{t^2} =\lim_{t\to 0}\dfrac{-2\sin^2(\frac t 2)}{t^2}$$

Desde $\lim_{x\to 0}\dfrac{ \sin(x)} {x}=1$,

$$\lim_{t\to 0}\dfrac{-2\sin^2(\frac t 2)}{t^2}=\frac {-1} 2\lim_{t\to 0}\dfrac{ \sin^2(\frac t 2)}{\frac {t^2}{4}}=\frac {-1}{2}$$