Encontrar una función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que es continua en, precisamente, un punto?

Question

Es la función de $f(x) = \lim_{k \to +\infty} \tan{kx}$ un ejemplo correcto?

Pero no sé si se trata de una función en un primer momento. Es esta una función?

Podría dar un correcto valor real de la función que es continua en, precisamente, un punto?

Gracias.

Answer 1

La función $$f(x)=\begin{cases}x\text{ if }x\in\mathbb{Q}\\0\text{ if }x\notin\mathbb{Q}\end{cases}$$ es continua en a$x=0$, pero en ningún otro lugar.

Answer 2

Su ejemplo no va a funcionar porque en realidad no está definida para cualquier valor distinto de cero $x$. Si $x$ es distinto de cero, entonces a $kx$ obtiene ya sea positiva o negativamente infinito como $k \to \infty$, e $\tan kx$ va a hacer zoom alrededor periódicamente y por lo tanto no tienen un límite.

El estándar ejemplo de una función continua en sólo 1 punto es algo como el dado por Zev Chonoles, donde $f$ toma el valor de alguna función continua (en este caso, $f(x)=x$) en una densa subconjunto de los reales que tiene una densa complemento (en este caso, $\mathbb{Q}$), y la otra función continua (en este caso, $f(x)=0$) en el complemento. Si las dos funciones coinciden exactamente en un punto, entonces usted consigue la continuidad en ese punto; en todas partes, la función rebota alrededor locamente entre las dos funciones continuas es improvisado, ya que toma a cada uno el valor de un subconjunto denso de $\mathbb{R}$.