Prueba

Question

Supongo que es de $m,n \in \Bbb N$ $k$, producto de prime todo número que divide $m,n$

Cómo demostrar que:

$$ \phi(mn)=\phi(m)\phi(n) \frac k{\phi(k)}$$

Answer 1

Tenga en cuenta % $ $$\frac{\phi{(m)}}{m}=\prod_{p|m}(1-\frac{1}{p})$

Por lo tanto

\begin{align} \frac{\phi{(mn)}}{mn}=\prod_{p|mn}(1-\frac{1}{p}) & =\frac{\prod_{p|m}(1-\frac{1}{p})\prod_{p|n}(1-\frac{1}{p})}{\prod_{p|m, p|n}(1-\frac{1}{p})} \\ &=\frac{\prod_{p|m}(1-\frac{1}{p})\prod_{p|n}(1-\frac{1}{p})}{\prod_{p|k}(1-\frac{1}{p})} \\ & =\frac{\phi{(m)}}{m}\frac{\phi{(n)}}{n}\frac{k}{\phi{(k)}} \end {Alinee el}

Multiplicar por $mn$ da la igualdad deseada.

Answer 2

Si $m$ $n$ son coprime, entonces es fácil mostrar que $\phi(mn)=\phi(m)\phi(n)$. Por lo que asumimos que el$m=p^a$$n=p^b$. A continuación,$\phi(mn)=\phi(p^{a+b})=p^{a+b-1}(p-1)=p^{a-1}(p-1)p^{b-1}(p-1)\frac{p}{p-1}$. Así, el resultado de la siguiente manera.

P. S. Al $m$ $n$ son relativamente primos, si $k$ es coprime a $mn$ $k$ es el primer a$m$$n$. Por el contrario, si $k_1$ es el primer a $m$ $k_2$ es el primer a $n$, entonces no es un número de primer a$mn$$\equiv k_1\pmod m$$\equiv k_2\pmod n$. Y, por tanto,$\phi(mn)=\phi(m)\phi(n)$.

El punto para mí cualquier error que se produce, gracias.

Answer 3

La ecuación es verdadera, con la misma prueba, para cualquier función multiplicativa cuyas $p$ componente no depende de la potencia de $p$ división de un número: $f(pn) = f(p^k n)$ todos los $k > 0$.

Estas funciones se producen en las estimaciones de la densidad de los números primos en el polinomio de secuencias. Para uno o más polinomios con coeficientes enteros, la fracción de los valores por los que los polinomios son relativamente primer a $n$ es una función multiplicativa con la misma propiedad como $\frac{\phi(n)}{n}$, que es el caso especial de un polinomio igual a $P(n)=n$.