Corto Exacta De Las Secuencias Y El Rango De Nulidad

Question

Este es un conocido lema que aparece consistentemente en los libros de texto, ya sea como una afirmación sin pruebas, o como ejercicio (véase, por ejemplo, páginas 146 de Hatcher)

Si $0 \stackrel{id}{\to} A \stackrel{f}{\to} B \stackrel{g}{\to} C\stackrel{h}{\to} 0$ es una breve secuencia exacta de finitely generado abelian grupos, entonces rango A = rango A + rango C

He estado tratando de demostrar esta sin éxito.

¿Qué sabemos? $f$ es inyectiva, $g$ es surjective, $\mathrm{Im} f = \mathrm{ker} g$, $\mathrm{Im} g = \mathrm{ker} h$, $C\simeq B/A$

Así que voy a empezar con un máximo subconjunto linealmente independiente $\{ a_\alpha \}$ $A$ tal que la suma (con sólo finito distinto de cero entradas) $$\sum n_\alpha a_\alpha=0$$ for $n_\alpha \in \mathbb{Z}$, implies that $n_\alpha=0$.

A dónde ir desde aquí es un juego de rompecabezas? Todas las sugerencias se agradece

Answer 1

Si usted no está familiarizado con tensor de productos, luego de aprendizaje para este problema es un exceso. Pero si usted está familiarizado con ellos, entonces creo que la siguiente solución es agradable. $\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}$

Para un finitely generado grupo abelian $A$, tenga en cuenta que $\mathrm{rank}(A) = \dim_\Q(A\otimes_\Z \Q)$. Se puede demostrar que (básicamente siguientes Arturo respuesta) que una breve secuencia exacta de abelian grupos $0\to A\to B\to C\to 0$, la secuencia obtenida por tensoring con $\Q$ también es exacta: $$0\to A\otimes_\Z \Q \to B\otimes_\Z \Q \to C\otimes_\Z \Q \to 0$$

Ahora, la declaración sobre los rangos, se reduce a una sencilla declaración acerca de cómo las dimensiones de los espacios vectoriales agregar en una breve secuencia exacta.

Answer 2

Escoge un subconjunto linealmente independiente maximal $\{c_{\beta}\}$$C$. Ahora empuja el$a_{\alpha}$$B$$f$, y para cada una de las $c_{\beta}$ pick $c'_{\beta}\in B$ tal que $g(c'_{\beta}) = c_{\beta}$.

Ahora supongamos que usted tiene un número finito de combinaciones lineales de las $a_{\alpha}$ e las $c'_{\beta}$ que es igual a $0$, $$n_{\alpha_1}f(a_{\alpha_1}) + \cdots + n_{\alpha_k}f(a_{\alpha_k}) + m_{\beta_1}c'_{\beta_1} + \cdots + m_{\beta_{\ell}}c'_{\beta_{\ell}} = 0.$$ El uso de $g$ para obtener una conclusión acerca de la $m_{\beta_j}$; a continuación, utilice $f$ para obtener una conclusión acerca de la $n_{\alpha_i}$. Esto le dará $\mathrm{rank}(B)\geq \mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(C)$.

¿Usted también necesita ayuda con la conversación de la desigualdad?