Mostrar que $\mathbb{Q}(a)/\mathbb{Q}$ es normal, donde una raíz del Polinomio irreducible $a$ $x^3-3x-1$

Question

Tenemos que $E=\mathbb{Q}(a)$ donde $a\in \mathbb{C}$ es una raíz del polinomio irreducible $x^3-3x-1\in \mathbb{Q}[x]$.

Quiero mostrar que la $E/\mathbb{Q}$ es normal.

He hecho lo siguiente:

Deje $b\in E$. Una base de la extensión es $1, a, a^2$. Por eso, $b$ puede ser escrito como $$b=q_0+q_1a+q_2a^2$$

Tenemos que encontrar el mínimo irreductible polinomio de $b$ $\mathbb{Q}$ y calcular las raíces para comprobar si están en $E$, o no?

Desde $[E:\mathbb{Q}]=3$,$\deg m(b,\mathbb{Q})\leq 3$.

Así, la forma general de que el polinomio es $Ax^3+Bx^2+Cx+D$.

Así, tenemos que sustituir $x$$b=q_0+q_1a+q_2a^2$, calcula el polinomio que, a sabiendas de que $a^3=3a+1$, y encontrar a otras raíces?

O es que hay otra forma de demostrar que?

Answer 1

El discriminante (Wikipedia) del polinomio $p(x)=x^3-3x+1\in\mathbb{Q}[x]$ es igual a $81$, que es un cuadrado en el campo de $\mathbb{Q}$. Dejando $L$ ser la división de campo de la $p(x)$$\mathbb{Q}$, hay un teorema que desde el discriminante es un cuadrado, tenemos $[L:\mathbb{Q}]=3$. Desde $\mathbb{Q}(a)\subseteq L$ $[\mathbb{Q}(a):\mathbb{Q}]=3$ también, debemos tener $L=\mathbb{Q}(a)$, es decir, el campo de $\mathbb{Q}(a)$ es la división de campo de la polinomio sobre $\mathbb{Q}$. Por lo tanto, es normal que más de $\mathbb{Q}$.

(a partir de la Teoría de Galois por Jean-Pierre Escofier)

Answer 2

Sugerencia: Si $a$ es una de las raíces, muestran que $a^2-2$ es otra.

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Como Zev (+1) explicó, se observa que el discriminante es un cuadrado (de un número racional) implica que el grupo de Galois de la división de campo es cíclico de orden tres. Por lo tanto:

• $E=\Bbb{Q}(a)$, y
• los otros ceros son en la mayoría de los polinomios cuadráticos en $a$.

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Este es uno de los dos polinomios cúbicos, donde $a\mapsto a^2-2$ permutes los tres ceros de forma cíclica. El otro se discute aquí.

Un par de palabras acerca de averiguar que los ceros $x_k=2\cos(2^k\pi/9), k=1,2,3,$ llegado hasta aquí, o más bien, ¿por qué la división de campo más o menos "debe" ser el subcampo de la novena cyclotomic campo. Esto no es necesariamente concluyente, pero apuntando fuertemente en esa dirección:

• Por el famoso Kronecker-Weber teorema de cualquier abelian extensión de $\Bbb{Q}$ es un subcampo de la $\Bbb{Q}(e^{2\pi i/m})$ algunos $m$.
• Para cualquier prime $p$, el discriminante de $\Bbb{Q}(e^{2\pi i/p})$ es una potencia de $p$ (hasta firmar?).
• Debido a que los factores primos de el discriminante de un subcampo también son factores de la discriminante de la más grande, y Zev calcula que el discriminante es $81$, podemos concluir que en nuestro caso $m$ debe ser divisible por $p=3$, pero no necesariamente divisible por cualquier otro prime.
• $m=9=3^2$ es el más pequeño de alimentación de tres que $Q(e^{2\pi i/m})$ tiene un cúbicos de subcampo.