Suma por partes

Question

Estoy tratando de resolver $ \sum\limits_ {k=1}^n \frac {2k+1}{k(k+1)}$ usando la suma por partes:

$ \sum u \Delta v=uv- \sum Ev \Delta u$

$u = 2x+1, \Delta v=1/x(x+1)=(x-1)_{-2}$

$v=-(x-1)_{-1}=-1/x$

$ \Delta u = 2, Ev = -1/(x+1)$

$ \sum\frac {(2x+1)}{x(x+1)} \delta x= \frac {-2x-1}{x}+2 \left ( \sum x_{-1} \delta x \right )$

¿Es mi solución correcta hasta este punto? Si lo es, ¿cuál es la anti-diferencia $ \sum x_{-1} \delta x$ ? Esto parece ser el equivalente finito a $ \int x^{-1}dx=ln(x)$ .

Answer 1

Sus cálculos son correctos, lo que es fácil de ver por la diferencia.

La anti-diferenciación de $x_{-1} = \frac {1}{x+1}$ se conoce como Número armónico : $$ \sum_x \frac {1}{x+1} = H_x $$ donde $H_n = \sum_ {k=1}^n \frac {1}{k}$ .

Answer 2

No estoy seguro de que esto responda completamente a sus preguntas, pero es más fácil resolver este problema sin sumar por parte, simplemente por expansión de fracciones parciales: $$ S_n = \sum_ {k=1}^{n} \frac {1}{k} + \sum_ {k=1}^{n} \frac {1}{k+1}=2H_n-1+ \frac {1}{n+1}=2H_n- \frac {n}{n+1} $$ donde $H_n$ es un número armónico