Dimensión de la variedad afín asociada a $\langle zw-y^2, xy-z^3 \rangle $

Question

Encontrar la dimensión de la variedad afín $V(I)$, donde $I=\left\langle zw-y^2,xy-z^3\right\rangle \subseteq k[x,y,z,w]$, con algebraicaly de $k$ cerrado campo.

He intentado resolver el sistema $zw-y^2=0$, $xy-z^3=0$ y encontrar la máxima dimensión de subespacios coordinadas, pero no tuvo éxito. ¿Alguien me podría ayudar? ¡Gracias!

Answer 1

Vamos a demostrar que $k[x,y,z,w]/I$ es un dominio y encontrar su dimensión, considerando la trascendence grado de su fracción de campo.

Primero de todo quiero introducir dos sencillos hechos en la dimensión de $k$-álgebras:

Teorema Deje $R$ dominio y $S \subset R$ un subconjunto multiplicativo. A continuación, $K(R)=K(S^{-1}R)$ donde $K( - )$ son de la respectiva fracción campos

Corolario Deje $R$ ser un finitely generadas $k$-álgebra y un dominio. Deje $S \subset R$ un subconjunto multiplicativo. A continuación, $trdeg_k \, K(R)=trdeg_k \,K(S^{-1}R)$

Estamos listos para mostrar que $\dim V(I)=2$:

• Si llamamos a $A=\frac{k[x,y,z]}{(xy-z^3)}$ obtenemos $$k[x,y,z,w]/I \simeq \frac{A[w]}{(zw-y^2)}$$
• $xy-z^3$ es irreductible, como elemento de $k[x,y,z]$ $A$ es un dominio. Por otra parte $z$ integral $A$ $\dim A= \dim k[x,y] =2$
• El anillo de $\frac{K(A)[w]}{(zw-y^2)}$ es un dominio porque es isomorfo a $K(A)$ $\frac{A[w]}{(zw-y^2)}$ es uno de sus subrings, por lo que es un dominio.
• Vamos a considerar ahora el anillo de $A_z$ (el anillo de $A$ en el que hemos invertido todos los poderes de la $z$), este es un dominio (la localización de un dominio es también un dominio) y $\dim A_z = 2$ (por las propiedades de la localización). Obtenemos fácil $$A_z\simeq \frac{A_z[w]}{(w-y^2z^{-1})} \simeq \left(\frac{A[w]}{(zw-y^2)}\right)_z$$

Ahora vamos a concluir considerando $$trdeg_k \,K\left(\frac{A[w]_z}{(zw-y^2)_z}\right)=trdeg_k \,K\left(\frac{A[w]}{(zw-y^2)}\right)= trdeg_k \, K(A_z) = \dim A_z = 2$$

Answer 2

Un enfoque computacional.

Conjunto de $R=k[x,y,z,w]$ y $I=\langle zw-y^2,xy-z^3\rangle$.

1. Muestran que $zw-y^2,xy-z^3$ es una base de Grobner $I$ con respecto a la orden de grevlex. Así se genera el % ideal inicial $\langle{\rm LT}(I)\rangle$$I$$y^2,z^3$.

2. Como es bien sabido (véase por ejemplo, ideales, variedades y algoritmos deCox et al., capítulo 9), si $k$ es un cuerpo algebraicamente cerrado $$\dim V(I)=\deg{}^aHP_{R/I},$% {} $ where $^ aHP_{R/I}$ is the affine Hilbert polynomial of $R/I$.

${}^aHP_{R/I}={}^aHP_{R/\langle{\rm LT}(I)\rangle}={}^aHP_{R/\sqrt{\langle{\rm LT}(I)\rangle}}$. En nuestro caso $\sqrt{\langle{\rm LT}(I)\rangle}=\langle y,z\rangle$ y así obtener $\dim V(I)=\deg{}^aHP_{R/I}=2$.