Demostrar que $\exists k\in \mathbb{N}^*$ tal que $\|a-a_k\|<\varepsilon$

Question

Deje $E$ ser una normativa espacio lineal, $C$ compacto y $f:C\to C$ una función tal que $\|f(x)-f(y)\|\geq \|x-y\|$ todos los $x,y\in C$. A continuación, $f$ es una isometría.

Nota: estoy teniendo problemas tratando de probarlo! Me siento atrapado. Mi enfoque: Alguna sugerencia de definir dice: $a_0=a$, $a_n=f\circ ...\circ f(a)=f^{n}(a)$ y similares $b_n=f^{n}(b)$. Añadido: demostrar que para todos los $\varepsilon>0$ hay $k\in \mathbb{N}^*$ tal que $\|a-a_k\|<\varepsilon$ $\|b-b_k\|<\varepsilon$

¿Cómo puedo deducir de esto que el $\|a_1-b_1\|\leq \|a-b\|+2\varepsilon$? Porque en ese caso, sé que $\|f(a)-f(b)\|\leq \|a-b\|$ y desde $a,b$ fueron arbitrarias hemos terminado!

Por favor cualquier ayuda en la demostración de esto dos cosas!!

Mi intento: $a_n$ tienen (por compacity) un subsequence que converge, decir $a_{n_k}\to z\in C$. Puedo decir que $z=a$?? Lo que sé es que para algunos $x_1,...x_p\in C$ tenemos que $C\subseteq \bigcup_{i=1}^p B(x_i,\varepsilon)$.

Gracias realmente me siento atrapado!

Answer 1

Deje $a_n=f^n(a)$, entonces debemos probar que para arbitrario $\epsilon$ existen natural K tal que|$a-a_K$|<$\epsilon$

Así que asumir que no es verdadero, es decir no existe $\epsilon_0$ s.t. |$a-a_k$|$\ge\epsilon_0$ para arbitrario natural $k$

Puesto que C es compacto , existen un número finito de puntos de $x_1 , ... , x_n$ s.t. C $\subset$ $\cup D(x_i,\frac{\epsilon_0}2)$ donde $D$ significa que el disco

Entonces la instrucción anterior nos dice que $a$ $\in$ $D(x_l,\frac{\epsilon_0}2)$ para algunos $l$ y $a_k$ $\in$ $D(a_i,\frac{\epsilon_0}2)$ donde $i\ne l$

De modo que existe algún K s.t. $a_1 , a_K$ están en el mismo disco (sin pérdida de generalidad), pero entonces es una contradicción

$\epsilon_0$ $\le$ |$a-a_{K-1}$| $\le$ |$a_1-a_K$| $\le$ |$a_1-x_{i_0}$|+|$x_{i_0}-a_K$| $<$ $\frac{\epsilon_0}2+\frac{\epsilon_0}2$ = $\epsilon_0$ donde $i_0$ es el mismo disco del centro

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