¿Es un espacio de cubierta de un colector en segundo lugar contable?

Question

Me han dicho que el cubrir el espacio de un colector es de nuevo un colector. Deje $f :X\rightarrow Y$ una cubierta mapa y $Y$ $n$- colector. Es fácil mostrar que $X$ es un localmente euclídeo y Hausdorff.

Ahora estoy tratando de mostrar es segundo contable, dada la condición adicional de que para cualquier subconjunto $U \subset Y$, $f^{-1}(U)$ ha finito o countably muchos componentes.

Ahora supongo que la base sobre la $X$ se compone de la precompact conjunto de $x$ que separa $x$ de otros componentes de $f^{-1}(f(x))$ por cada $x\in X $. Puedo verificar esta es una base desde $X$ es de Hausdorff. El único problema es mostrar que esta base es contable. Pregunta: ¿Es contable o no?

Alguna manera de hacerlo sin alg superior , yo.e por parte de topología general y el colector ?

Answer 1

De hecho, es segundo contable. Para ver esto de tomar una contables de base para $Y$.

1. Si descartamos cualquier conjunto abierto que no es uniformemente cubiertos lo que queda todavía la base para $Y$ y es todavía contables.
2. El grupo fundamental de un colector contables y actúa transitivamente sobre la fibra a través de cualquier punto de $y \in Y$, por lo que hay en la mayoría de los countably muchas hojas encima de cualquier uniformemente cubierto subconjuntos de a $Y$.
3. Ahora, para cada conjunto abierto en $Y$ tomamos el de la mayoría de countably muchas conjuntos obtenido por la intersección de $f^{-1}(Y)$ con las hojas de más de $Y$. Esto nos da una (contables) $\times$ (en la mayoría de los contables) $=$ en la mayoría de los contables de base para $X$.

Answer 2

Usted no necesita cualquier topología algebraica para que!

Por supuesto que no es cierto en general, ya que siempre puede cubrir $Y$ $Y\times F$ donde $F$ es un incontable espacio discreto. Pero usted tiene fuertes presunciones de que excluir este tipo de patología.

También estoy publicando esta respuesta para proporcionar algunos detalles (en el último párrafo) que me parecen importantes y que fueron omitidos en el breve explicación proporcionada por Jim.

Para cada una de las $p\in Y$ uniformemente cubierto de vecindad. Desde que trabajamos con un colector, arreglar un pequeño barrio de $B(p)$ diffeo con una unidad de la bola en $\mathbb R^n$ y una familia de su subneighbourhoods diffeo con bolas formando una base local en $p$. Ahora, tomar una base $\mathcal B'$ $X$ consiste de todas las bolas. Por esta pregunta y la suposición de que hay algunas contables base $\mathcal V$$X$, se puede elegir una contables subbasis de $\mathcal B'$ - vamos a llamar a $\mathcal B$.

Ahora - para cada una de las $B\in \mathcal B$ tenemos $f^{-1}(B)\simeq B\times F_{B}$ para un espacio discreto $F_{B}$. Tenga en cuenta que $F_{B}$ es en la mayoría de los contables debido a que los componentes de $B\times F_{B}$ son exactamente de la forma $B\times \{g\}$ donde $g\in F_{B}$.

Nuestra base de $Y$ $$\tau=\bigcup_{B\in \mathcal B} \left\{B\times \{g\}\ | \ g\in F_{B} \right\}.$$ Es claramente contables como una contables de la unión de la mayoría de los contables de conjuntos.

¿Por qué es una base? Sabemos que $f$ es un local homeomorphism, por lo que conserva local de bases. ¿Utilizamos bien?

Que es donde nuestras bolas (que viene a partir de la suposición de que tenemos que hacer con un colector, no es un azar segundo contables espacio!) se utilizan. Habiendo $p\in B_0\in \mathcal B$ y una hoja de $B_0 \times \{g\}$ de su inversa de la imagen, sabemos que la base local $\mathcal B_p^{B_0}$ $p$ (restringido a los subconjuntos de a $B_0$) es "transportado" a $B_0 \times \{g\}$ (me refiero a que una de las hojas [que forman $\tau$] a través de cualquier conjunto de $\mathcal B_p^{B_0}$ debe estar dentro de $B_0 \times \{g\}$, porque la representación como un producto con un espacio discreto es el mismo para el subconjunto). No tiene que ser cierto en el caso de no estar conectado barrios!