Encontrar el valor máximo de $x_1x_2+x_2x_3+\cdots+x_nx_1$

Question

Encontrar el valor máximo de $x_1x_2+x_2x_3+\cdots+x_nx_1$ $x_1+x_2+\cdots+x_n=0$ y $x_1^2+x_2^2+...+x_n^2=1$.

Puedo conseguir por Cauchy-Schwarz que $x_1x_2+x_2x_3+\cdots+x_nx_1 \leqslant 1$, pero puede más pequeña expresión $x_1x_2+x_2x_3+\cdots+x_nx_1$?

Answer 1

Esto se conoce como la desigualdad de Ky Fan-Tausski-Todd o un caso especial de la desigualdad de Wirtinger discretos. La prueba no es difícil, pero requiere un ingenioso cambio de variables. Ver aquí para la prueba completa y otros detalles.