Anillos de Artinian e ideales principales asociados

Question

Que $R$ ser un anillo comutativo con la unidad. Mostrar que $R$ es anillo de artinian si y sólo si existe una longitud finita $R$-módulo $M$, que $$\{r\in R \mid rm=0 ,\forall m\in M\}=(0).$ $

Lo único que puedo pensar es que necesito encontrar a $M$, que $\mathrm{Ass}_{R}M=(0)$, pero no estoy seguro de cómo hacerlo. $\mathrm{Ass}_{R}M$ es el conjunto de ideales principales asociados de $M$.

Answer 1

Bueno, una dirección es fácil. Si $R$ es artinian tomar $M = R$.

Para la otra dirección, el % dado $M$es artinian y noetheriano porque tiene longitud finita. Como noetheriano es un finito de generadores $m_i$ y definir $R \to M^n$ $a \mapsto (am_i)$. La condición en el annihilator de $M$ hace esto inyectiva así $R$ es un submódulo de un módulo de artinian y por lo tanto artinian.