Valor imaginario propio de un operador de hermítica

Question

Las eigenfunctions de un operador de hermítica son reales. Consideremos una función $\psi(x)=e^{-\kappa x}$, $x\in\mathbb{R}$, donde $\kappa$ es una constante real. Entonces, $$\hat p \psi(x)=-i\hbar \frac{d}{dx}e^{-\kappa x}=i\kappa \hbar \psi(x).$ $ esto da un valor propio imaginario puro. ¿No es una contradicción? ¿O falta algún punto crucial?

Answer 1

¿Qué es el espacio de Hilbert? En $L^2(\mathbb R)$ su eigenfunction tendría norma infinita. Si trata en cambio de un limitado conjunto de $L^2([a,b])$, su operador no es hermítica a menos que impone condiciones de contorno adecuadas para descartar condiciones de límite. ¡Estas condiciones de límite, sin embargo, descartaría su vector propio candidato!