¿Lo que ' s el valor de $\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i^2 i!}$?

Question

¿Cuál es el valor de $\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i^2 i!}(= S)$?

Intento calcular el valor por el siguiente.

$$\frac{e^x - 1}{x} = \sum_{i=1}^\infty \frac{x^{i-1}}{i!}.$ $ Tomando el integral da $$ \int_{0}^x \frac{e^t-1}{t}dt = \sum_{i=1}^\infty \frac{x^{i}}{i i!}. $ $

En el mismo, obtiene la siguiente ecuación

$$ \int_{s=0}^x \frac{1}{s} \int_{t=0}^s \frac{e^t-1}{t}dt ds= \sum_{i=1}^\infty \frac{x^{i}}{i^2 i!}. $$

Así que nos sostiene

$$S = \int_{s=0}^1 \frac{1}{s} \int_{t=0}^s \frac{e^t-1}{t}dt ds.$$

¿Tiene esta última integral cerrada forma primaria u otra expresión?

Answer 1

Tal vez es interesante ver cómo obtener la "forma cerrada" en términos de función hipergeométrica. Recordando la definición de hipergeométrica generalizada de la función $$ _ {q} F_ {p} \left (a_ {1}, \dots, a_ {q} b {1}, \dots, e_ {p}; z\right) = \sum_ {k\geq0} \frac {\left (a_ {1} \right) _ {k} \cdots\left (a_ {q} \right) _ {k}} {\left (e_ {1} \right) _ {k} \cdots\left (b _ {p} \right) _ {k}} \frac {z ^ {k}} {k}! $$ where $\left (a_ {i} \right) _ {k} $ is the Pochhammer symbol, we note that $ \left(2\right)_{k}=\left(k+1\right)! $ and $\left (1\right) _ {k} = k! $. Hence $% $ $_{3}F_{3}\left(1,1,1;2,2,2;1\right)=\sum_{k\geq0}\frac{\left(k!\right)^{3}}{\left(\left(k+1\right)!\right)^{3}}\frac{1}{k!}=\sum_{k\geq0}\frac{1}{\left(k+1\right)^{3}}\frac{1}{k!}=\sum_{k\geq1}\frac{1}{k^{2}k!}.$

Answer 2

Comentario de A.S., nos consigue $$\int_{s=0}^x \frac{1}{s} \int_{t=0}^s \frac{e^t-1}{t}dt ds = \int_{t=0}^x \frac{e^t-1}{t}\int_{s=t}^x \frac{1}{s}ds dt = \int_{0}^x \frac{(e^t-1) (\log{x} - \log{t})}{t}dt.$ $

Por lo tanto, nos tiene %#% $ #%